Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 100 mm до 75 mm. У широкій частині тиск 180 kPa, а швидкість 2,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 180 kPav₁ = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 60 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 25 mm, розташований на 3,5 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть швидкість струменя v. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 60 kPa (надлишковий)h = 3,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,7 m/s горизонтальною трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,7 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 300 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 78% подає 25 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 78 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 25 L/sH = 78 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 9 m вища. Труба довжиною 600 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 80%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6η = 80%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (гравій) має ширину по дну 6 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 0,5 m. n Маннінга = 0,025, ухил дна S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 6 my = 0,5 mz = 1n = 0,025S = 0,004

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) з шириною по дну 3 m і закладанням укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 3,9 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,1 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 3,9 m³/sb = 3 my = 1,1 mz = 1,5n = 0,03

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 242,8 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·4,5 = 242,8 kN

Відповідь

F = 242,8 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,8 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·9 = 194,2 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 6,75/(2,5·9) = 2,8 m

Відповідь

y_cp = 2,8 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 173,2 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(100/75)² = 4,444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 4,444²)/1000 = −6,752 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 180 + (−6,752) = 173,2 kPa

Відповідь

p₂ = 173,2 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 13,74 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(60000/1000 + 9,81·3,5)) = 13,74 m/s

Відповідь

v = 13,74 m/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 122,5 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,25)·2,7²/(2·9,81) = 12,48 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·12,48 = 122472 Pa = 122,5 kPa

Відповідь

Δp = 122,5 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 2,115 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·300/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 25 + 6,4)·0,06529 = 2,115 m

Відповідь

H = 2,115 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 24,52 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·78 = 19,13 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 19,13/0,78 = 24,52 kW

Відповідь

P_shaft = 24,52 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 12,87 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 6)·0,2611 = 17,24 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 9 + 17,24 = 26,24 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·26,24/0,8 = 12,87 kW

Відповідь

P_shaft = 12,87 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 4,744 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·0,5)·0,5 = 3,25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,5·√(1 + 1²) = 7,414 m

R = A/P = 0,4383 m

Швидкість

V = (1/0,025)·0,4383^2/3·0,004^1/2 = 1,46 m/s

Витрата

Q = A·V = 3,25·1,46 = 4,744 m³/s

Відповідь

Q = 4,744 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0007898 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3 + 1,5·1,1)·1,1 = 5,115 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,1·√(1 + 1,5²) = 6,966 m

R = A/P = 0,7343 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·3,9/(5,115·0,8139) = 0,0281

S = 0,0281² = 0,0007898

Відповідь

S = 0,0007898

Це зниження на 0,7898 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering