Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 200 mm до 40 mm. У широкій частині тиск 370 kPa, а швидкість 0,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 200 mmd₂ = 40 mmp₁ = 370 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 40 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 0,5 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 4,5 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть абсолютний тиск p_C у точці C. Атмосферний тиск 101,3 kPa.

d = 40 mmz_C = +0,5 mz₂ = −4,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,7 m/s горизонтальною трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,7 m/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 70 m. ККД насоса 82%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 90%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 100 L/sH = 70 mη_pump = 82%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 12 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 10 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 350 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 12 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 350 kPa

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (гравій) має ширину по дну 2,5 m і закладання укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,7 m. n Маннінга = 0,025, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2,5 my = 1,7 mz = 2n = 0,025S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (необроблений бетон) з шириною по дну 1 m і закладанням укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 28 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,1 m. n Маннінга = 0,014. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 28 m³/sb = 1 my = 2,1 mz = 1,5n = 0,014

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 29,43 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·1,5 = 29,43 kN

Відповідь

F = 29,43 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,519 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,5·1 = 38,85 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,08333/(4,5·1) = 4,519 m

Відповідь

y_cp = 4,519 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 292 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(200/40)² = 12,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 12,5²)/1000 = −78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 370 + (−78) = 292 kPa

Відповідь

p₂ = 292 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p_C = 52,25 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(9,396²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 49,05 = 52,25 kPa

Відповідь

p_C = 52,25 kPa

Якщо цей тиск знизиться до тиску насиченої пари води, сифон перестане працювати.

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 80,19 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,1)·2,7²/(2·9,81) = 8,174 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·8,174 = 80190 Pa = 80,19 kPa

Відповідь

Δp = 80,19 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 1,095 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Сумарні втрати напору

h_f = 16·0,05288 = 0,8461 m

h_m = 4,7·0,05288 = 0,2485 m

Δz = h_f + h_m = 1,095 m

Відповідь

Δz = 1,095 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 93,05 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·70 = 68,67 kW

Потужність на валу

P_shaft = 68,67/0,82 = 83,74 kW

Електрична потужність

P_el = 83,74/0,9 = 93,05 kW

Відповідь

P_el = 93,05 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 50,56 m

Швидкість

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 8)·0,119 = 4,878 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 35,68 + 4,878 = 50,56 m

Відповідь

H = 50,56 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 11,29 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·1,7)·1,7 = 10,03 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,7·√(1 + 2²) = 10,1 m

R = A/P = 0,9928 m

Швидкість

V = (1/0,025)·0,9928^2/3·0,0008^1/2 = 1,126 m/s

Витрата

Q = A·V = 10,03·1,126 = 11,29 m³/s

Відповідь

Q = 11,29 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001979 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·2,1)·2,1 = 8,715 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2,1·√(1 + 1,5²) = 8,572 m

R = A/P = 1,017 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·28/(8,715·1,011) = 0,04449

S = 0,04449² = 0,001979

Відповідь

S = 0,001979

Це зниження на 1,979 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering