Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Трубка Піто–Прандтля в аеродинамічній трубі показує різницю 50 Pa між тиском гальмування і статичним тиском. Густина повітря 1,2 kg/m³. Знайдіть швидкість повітря v.

p₀ − p = 50 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Сопло фонтана спрямоване вертикально вгору. Безпосередньо під соплом підвідна труба має діаметр 75 mm і надлишковий тиск 70 kPa. Діаметр вихідного отвору сопла 20 mm, різницею висот у межах сопла можна знехтувати. Нехтуючи втратами й опором повітря, знайдіть висоту H, на яку струмінь піднімається над соплом. Прийміть g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 70 kPa (надлишковий)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,8 m/s горизонтальною трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,8 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 200 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 10 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 80 m, а його вал споживає 9,6 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 10 L/sH = 80 mP_shaft = 9,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 14 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 78%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 75 L/sΔz = 14 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5η = 78%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 3 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,5 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3 my = 1,5 mz = 1,5n = 0,022S = 0,002

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (ґрунт, укріплений травою) шириною 3 m має пропускати 1,5 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,8 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 1,5 m³/sb = 3 my = 0,8 mn = 0,03

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 19,62 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·2 = 19,62 kN

Відповідь

F = 19,62 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,714 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·6 = 259,6 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 4,5/(3,5·6) = 3,714 m

Відповідь

y_cp = 3,714 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 9,129 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі до точки гальмування

Біля носика потік зупиняється, тож його кінетична енергія проявляється як додатковий тиск.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·50/1,2) = 9,129 m/s

Відповідь

v = 9,129 m/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: H = 7,172 m

Швидкість на виході

β = 20/75 = 0,2667

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0,9949)) = 11,86 m/s

Висота струменя

Рівняння Бернуллі вздовж струменя: у верхній точці швидкість дорівнює нулю, а тиск знову атмосферний.

H = v₂²/(2g) = 11,86²/(2·9,81) = 7,172 m

Відповідь

H = 7,172 m

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 52,27 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,15)·2,8²/(2·9,81) = 5,328 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·5,328 = 52267 Pa = 52,27 kPa

Відповідь

Δp = 52,27 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 2,471 m

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 22,5 + 6,4)·0,08263 = 2,471 m

Відповідь

H = 2,471 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 81,75 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·80 = 7,848 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 7,848/9,6 = 81,75%

Відповідь

η = 81,75%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 16,63 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 5)·0,2905 = 3,631 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 14 + 3,631 = 17,63 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·17,63/0,78 = 16,63 kW

Відповідь

P_shaft = 16,63 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 15,32 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3 + 1,5·1,5)·1,5 = 7,875 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,5·√(1 + 1,5²) = 8,408 m

R = A/P = 0,9366 m

Швидкість

V = (1/0,022)·0,9366^2/3·0,002^1/2 = 1,946 m/s

Витрата

Q = A·V = 7,875·1,946 = 15,32 m³/s

Відповідь

Q = 15,32 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,000837 m/m

Геометрія

A = b·y = 3·0,8 = 2,4 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,8 = 4,6 m

R = A/P = 0,5217 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·1,5/(2,4·0,6481) = 0,02893

S = 0,02893² = 0,000837

Відповідь

S = 0,000837

Це зниження на 0,837 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering