Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 7 років вам потрібно €5 000. Рахунок дає 3,6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €5 0003,6% / 12n = 7

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €300 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 2? Знайдіть залишок боргу B.

P = €300 0003% / 12N = 300k = 24

B = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 15 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 358, коли дохідність до погашення становить 3%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 15P = €1 358YTM = 3%

c = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% двома піврічними платежами й погашається через 12 років. Вона продається за €1 341. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.

F = €1 000купон = 7% (2×)n = 12P = €1 341

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €12 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.

E = €12 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має власний капітал ринковою вартістю €10 000 000 і вартістю власного капіталу 14%. Її борг складається з 4 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 5%, 6 років до погашення), кожна з яких торгується за €975. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.

E = €10 000 000r_e = 14%облігації: 4 000 × €975купон = 5%n = 6T = 25%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €22 000, €18 000, €21 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 22 000CF₂ = 18 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €20 000 приносить €4 000 наприкінці кожного року протягом 7 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €20 000CF = €4 000n = 7

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 3888 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·7 = 84

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,286 = €3 887,69

Відповідь

PV = €3 887,69

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 283384 €

Щомісячний платіж

i = 0,0025, N = 300

A = 300 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁰⁰) = €1 422,63

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 300 − 24 = 276

B = 1423·(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁷⁶)/0,0025 = €283 384,05

Відповідь

B = €283 384,05

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 5,999 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,03)⁻¹⁵ = €641,86

Купон

C = (1358 − 641,86)/11,94 = €59,99

Купонна ставка

c = 59,99/1000 = 5,999%

Відповідь

c = 5,999%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 3,496 %

За період

C = €35,00, N = 24

Чисельний розв’язок

i = 1,748% за півроку

YTM

YTM = 2·1,748% = 3,496%

Відповідь

YTM = 3,496%

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 10,9 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·13% + 0,2·3,5%·(1 − 0,28) = 10,9%

Відповідь

WACC = 10,9%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 11,23 %

Вартість боргу (YTM)

975 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 5,5%

Ринкові вартості

D = 4 000·€975 = €3 900 000

V = €13 900 000, E/V = 0,7194, D/V = 0,2806

WACC

WACC = 0,7194·14% + 0,2806·5,5%·(1 − 0,25) = 11,23%

Відповідь

WACC = 11,23%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 10420 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 22 000/1,05 = 20 952,38

CF₂/(1 + 0,05)² = 18 000/1,103 = 16 326,53

CF₃/(1 + 0,05)³ = 21 000/1,158 = 18 140,59

Додайте

NPV = €10 419,50

Відповідь

NPV = €10 419,50

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 9,196 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 20 000/4 000 = 5

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 9%: 5,033

i = 10%: 4,868

IRR = 9,196%

Відповідь

IRR = 9,196%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation