Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під 4 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 12 років.

PV = €5 000r = 4%t = 12

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €150 наприкінці кожного місяця протягом 21 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €1507,2% / 12N = 252

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Ви купуєте облігацію з 4 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%), коли її дохідність до погашення становить 9%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 10,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.

F = €1 000купон = 8%n = 4y₀ = 9%y₁ = 10,5%

HPR = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% двома піврічними платежами й погашається через 3 років. Вона продається за €1 085. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.

F = €1 000купон = 6% (2×)n = 3P = €1 085

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 4 000 000 акцій по €36,50 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 9%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €20 000, служить 6 років, а його експлуатація коштує €1 500 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €20 000M = €1 500n = 6r = 5%

EAC = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €150 000. Його грошовий потік становить €15 000 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 10. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €15 000g = 3%n = 10r = 8%

NPV = €

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 8080 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,04·12 = 0,48

e^0,48 = 1,616

Майбутня вартість

FV = 5 000·1,616 = €8 080,37

Відповідь

FV = €8 080,37

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 87884 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·21 = 252

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(4,515 − 1)/0,006 = €87 883,68

Відповідь

FV = €87 883,68

Самі ви внесли €37 800; решта — відсотки.

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: HPR = 5,247 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна купівлі

C = €80,00, i = 0,09, N = 4

€80,00·(1 − 0,7084)/0,09 + €1 000·0,7084 = €259,18 + €708,43 = €967,60

Ціна продажу

C = €80,00, i = 0,105, N = 3

€80,00·(1 − 0,7412)/0,105 + €1 000·0,7412 = €197,21 + €741,16 = €938,37

Дохідність за період володіння

HPR = (80 + 938,37 − 967,60)/967,60 = 5,247%

Відповідь

HPR = 5,247%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 3,015 %

За період

C = €30,00, N = 6

Чисельний розв’язок

i = 1,508% за півроку

YTM

YTM = 2·1,508% = 3,015%

Відповідь

YTM = 3,015%

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,516 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·13% + 0,625·3,5%·(1 − 0,25) = 6,516%

Відповідь

WACC = 6,516%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,882 %

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€36,50 = €146 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·7% = 10,4%

Ваги

V = €186 000 000, E/V = 0,7849, D/V = 0,2151

WACC

WACC = 0,7849·10,4% + 0,2151·4,5%·(1 − 0,258) = 8,882%

Відповідь

WACC = 8,882%

7.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 5440 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,05⁻⁶)/0,05 = 5,076

Ціна придбання, перерахована на рік

20 000/5,076 = 3 940,35

EAC

EAC = 3 940,35 + 1 500 = €5 440,35

Відповідь

EAC = €5 440,35

8.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −36748 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,03)/(1,08))¹⁰ = 0,6225

PV = 15 000/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,6225) = 113 252,01

NPV

NPV = 113 252,01 − 150 000 = −€36 747,99

Відповідь

NPV = −€36 747,99

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation