Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 4 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €8 000g = 2%r = 4%

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 7 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 4 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 7? Знайдіть FV.

A = €6 000i = 4%n = 7

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 11 років і виплачує річні купони. Вона продається за €882, коли дохідність до погашення становить 6%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 11P = €882YTM = 6%

c = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 3 років і продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 5%n = 3P = €935

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Ставка податку 28%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e за нової структури капіталу.

β_U = 1D/E = 0,25T = 28%r_f = 1,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €40 000 і приносить €13 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Вартість капіталу — 6 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 13 000CF₂ = 13 000CF₃ = 13 000CF₄ = 13 000

DPB = роки

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €4 000, €7 000, €4 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 7 000CF₃ = 4 500

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 400000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,04 − 0,02) = 8 000/0,02 = €400 000,00

Відповідь

PV = €400 000,00

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 49285 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,04)⁷ − 1)/0,04 = 7,898

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 6 000·7,898·1,04 = €49 285,36

Відповідь

FV = €49 285,36

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 4,504 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,06)⁻¹¹ = €526,79

Купон

C = (882 − 526,79)/7,887 = €45,04

Купонна ставка

c = 45,04/1000 = 4,504%

Відповідь

c = 4,504%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 7,499 %

Рівняння для дохідності

€935 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Чисельний розв’язок

P(7%) = €947,51, P(8%) = €922,69

YTM = 7,499%

Відповідь

YTM = 7,499%

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 12,98 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·14% + 0,09091·3,5%·(1 − 0,2) = 12,98%

Відповідь

WACC = 12,98%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 6,81 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Бета з урахуванням боргу

β_L = 1·(1 + 0,72·0,25) = 1,18

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,18·4,5% = 6,81%

Відповідь

r_e = 6,81%

7.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 3,51 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 13 000/1,06 = 12 264,15 → Σ = 12 264,15

рік 2: 13 000/1,124 = 11 569,95 → Σ = 23 834,10

рік 3: 13 000/1,191 = 10 915,05 → Σ = 34 749,16

рік 4: 13 000/1,262 = 10 297,22 → Σ = 45 046,37

Частка останнього року

DPB = 3 + 5 250,84/10 297,22 = 3,51

Відповідь

DPB = 3,51 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,077 років).

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 24,9 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(20%) = 798,61

NPV(25%) = −16,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 20 + 5·798,61/(798,61 − (−16,00)) = 24,9%

точно: NPV(24,9%) = 0 → IRR = 24,9%

Відповідь

IRR = 24,9%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation