Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Процентна ставка 10 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €8 000i = 10%n = 4

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €25 000 через 9 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €25 0003,6% / 12N = 108

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% і погашається через 6 років. Її дохідність до погашення змінюється з 9% до 7,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 8%n = 6y₁ = 9%y₂ = 7,5%

ΔP = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 2,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 4%n = 6YTM = 2,5%

D = роки

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 500 000 акцій по €20,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 20%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 6,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,3r_f = 2,5%r_m = 6,5%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €12 500, €12 500, €22 000, €10 000, €21 500, €14 000 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 5 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 5%CF₀ = −50 000CF₁ = 12 500CF₂ = 12 500CF₃ = 22 000CF₄ = 10 000CF₅ = 21 500CF₆ = 14 000

DPB = роки

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €10 000, €14 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 14 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 25359 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,683)/0,1 = 3,17

Теперішня вартість

PV = 8 000·3,17 = €25 358,92

Відповідь

PV = €25 358,92

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 196,3 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·9 = 108

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,003/(1,382 − 1) = €196,35

Відповідь

A = €196,35

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = 68,33 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €80,00, i = 0,09, N = 6

€80,00·(1 − 0,5963)/0,09 + €1 000·0,5963 = €358,87 + €596,27 = €955,14

Ціна за нової дохідності

C = €80,00, i = 0,075, N = 6

€80,00·(1 − 0,648)/0,075 + €1 000·0,648 = €375,51 + €647,96 = €1 023,47

Зміна

ΔP = 1 023,47 − 955,14 = €68,33

Відповідь

ΔP = €68,33

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 5,477 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 40/1,025 = 39,02, t·PV = 39,02

t = 2: 40/1,051 = 38,07, t·PV = 76,15

t = 3: 40/1,077 = 37,14, t·PV = 111,43

t = 4: 40/1,104 = 36,24, t·PV = 144,95

t = 5: 40/1,131 = 35,35, t·PV = 176,77

t = 6: 1040/1,16 = 896,79, t·PV = 5 380,73

Дюрація

P = 1 082,62

D = 5 929,06/1 082,62 = 5,477

Відповідь

D = 5,477 роки

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 10,11 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·11% + 0,1429·6%·(1 − 0,2) = 10,11%

Відповідь

WACC = 10,11%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,329 %

Ринкові вартості

E = 2 500 000·€20,50 = €51 250 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,3·4% = 7,7%

Ваги

V = €56 350 000, E/V = 0,9095, D/V = 0,09051

WACC

WACC = 0,9095·7,7% + 0,09051·4,5%·(1 − 0,2) = 7,329%

Відповідь

WACC = 7,329%

7.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 3,942 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 12 500/1,05 = 11 904,76 → Σ = 11 904,76

рік 2: 12 500/1,103 = 11 337,87 → Σ = 23 242,63

рік 3: 22 000/1,158 = 19 004,43 → Σ = 42 247,06

рік 4: 10 000/1,216 = 8 227,02 → Σ = 50 474,08

Частка останнього року

DPB = 3 + 7 752,94/8 227,02 = 3,942

Відповідь

DPB = 3,942 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,3 років).

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 12,32 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(10%) = 661,16

NPV(15%) = −718,34

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 10 + 5·661,16/(661,16 − (−718,34)) = 12,4%

точно: NPV(12,32%) = 0 → IRR = 12,32%

Відповідь

IRR = 12,32%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation