Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 25 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 25%m = 365

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €8 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €8 0006% / 12N = 72

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 13 років. Її дохідність до погашення змінюється з 2,5% до 1%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 2%n = 13y₁ = 2,5%y₂ = 1%

ΔP = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 3%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 7%n = 5YTM = 3%

D = роки

5.CAPM і WACCСередня

Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €5 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 000 000 і боргом вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу 13%, вартість привілейованого капіталу 7%, вартість боргу до оподаткування 4,5%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_p = 7%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має власний капітал ринковою вартістю €10 000 000 і вартістю власного капіталу 9%. Її борг складається з 5 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 4%, 11 років до погашення), кожна з яких торгується за €1 045. Ставка податку 30%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.

E = €10 000 000r_e = 9%облігації: 5 000 × €1 045купон = 4%n = 11T = 30%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €20 000 і приносить €5 500 наприкінці кожного року протягом 5 років. Вартість капіталу — 6 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 500CF₄ = 5 500CF₅ = 5 500

DPB = роки

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €17 000, €18 500, €14 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 000CF₂ = 18 500CF₃ = 14 500

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 28,39 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,25/365 = 0,0006849

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,0006849)³⁶⁵ − 1 = 1,284 − 1 = 28,39%

Відповідь

EAR = 28,39%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 132,6 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,6983

A = 8 000·0,005/(1 − 0,6983) = €132,58

Відповідь

A = €132,58

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = 176,3 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €20,00, i = 0,025, N = 13

€20,00·(1 − 0,7254)/0,025 + €1 000·0,7254 = €219,66 + €725,42 = €945,08

Ціна за нової дохідності

C = €20,00, i = 0,01, N = 13

€20,00·(1 − 0,8787)/0,01 + €1 000·0,8787 = €242,67 + €878,66 = €1 121,34

Зміна

ΔP = 1 121,34 − 945,08 = €176,25

Відповідь

ΔP = €176,25

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 4,442 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 70/1,03 = 67,96, t·PV = 67,96

t = 2: 70/1,061 = 65,98, t·PV = 131,96

t = 3: 70/1,093 = 64,06, t·PV = 192,18

t = 4: 70/1,126 = 62,19, t·PV = 248,78

t = 5: 1070/1,159 = 922,99, t·PV = 4 614,96

Дюрація

P = 1 183,19

D = 5 255,84/1 183,19 = 4,442

Відповідь

D = 4,442 роки

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,08 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €11 000 000

E/V = 0,4545, P_s/V = 0,09091, D/V = 0,4545

WACC

WACC = 0,4545·13% + 0,09091·7% + 0,4545·4,5%·(1 − 0,25) = 8,08%

Відповідь

WACC = 8,08%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,752 %

Вартість боргу (YTM)

1045 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 3,5%

Ринкові вартості

D = 5 000·€1 045 = €5 225 000

V = €15 225 000, E/V = 0,6568, D/V = 0,3432

WACC

WACC = 0,6568·9% + 0,3432·3,5%·(1 − 0,3) = 6,752%

Відповідь

WACC = 6,752%

7.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 4,229 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 5 500/1,06 = 5 188,68 → Σ = 5 188,68

рік 2: 5 500/1,124 = 4 894,98 → Σ = 10 083,66

рік 3: 5 500/1,191 = 4 617,91 → Σ = 14 701,57

рік 4: 5 500/1,262 = 4 356,52 → Σ = 19 058,08

рік 5: 5 500/1,338 = 4 109,92 → Σ = 23 168,00

Частка останнього року

DPB = 4 + 941,92/4 109,92 = 4,229

Відповідь

DPB = 4,229 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,636 років).

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 45,94 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(45%) = 279,43

NPV(50%) = −1 148,15

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 45 + 5·279,43/(279,43 − (−1 148,15)) = 45,98%

точно: NPV(45,94%) = 0 → IRR = 45,94%

Відповідь

IRR = 45,94%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation