Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 5 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €20 0006% / 4n = 5

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €5 000 на початку кожного року протягом 18 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 5 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 18? Знайдіть FV.

A = €5 000i = 5%n = 18

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Ви купуєте облігацію з 10 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 3%), коли її дохідність до погашення становить 3,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.

F = €1 000купон = 3%n = 10y₀ = 3,5%y₁ = 5%

HPR = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 6 років і продається за €925. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 5%n = 6P = €925

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,6. Вартість власного капіталу 14%, вартість боргу до оподаткування 3%, а ставка податку 28%. Знайдіть WACC.

D/E = 0,6r_e = 14%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 000 000 акцій по €27,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €80 000, служить 7 років, а його експлуатація коштує €1 500 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €80 000M = €1 500n = 7r = 12%

EAC = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €32 000, €23 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −50 000CF₁ = 32 000CF₂ = 23 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 14849 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·5 = 20

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,347 = €14 849,41

Відповідь

PV = €14 849,41

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 147695 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,05)¹⁸ − 1)/0,05 = 28,13

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 5 000·28,13·1,05 = €147 695,02

Відповідь

FV = €147 695,02

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: HPR = −7,364 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна купівлі

C = €30,00, i = 0,035, N = 10

€30,00·(1 − 0,7089)/0,035 + €1 000·0,7089 = €249,50 + €708,92 = €958,42

Ціна продажу

C = €30,00, i = 0,05, N = 9

€30,00·(1 − 0,6446)/0,05 + €1 000·0,6446 = €213,23 + €644,61 = €857,84

Дохідність за період володіння

HPR = (30 + 857,84 − 958,42)/958,42 = −7,364%

Відповідь

HPR = −7,364%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 6,552 %

Рівняння для дохідності

€925 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Чисельний розв’язок

P(6%) = €950,83, P(7%) = €904,67

YTM = 6,552%

Відповідь

YTM = 6,552%

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 9,56 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги з D/E

E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625

D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375

WACC

WACC = 0,625·14% + 0,375·3%·(1 − 0,28) = 9,56%

Відповідь

WACC = 9,56%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 14,17 %

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€27,50 = €55 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·7% = 15,1%

Ваги

V = €59 800 000, E/V = 0,9197, D/V = 0,08027

WACC

WACC = 0,9197·15,1% + 0,08027·5%·(1 − 0,3) = 14,17%

Відповідь

WACC = 14,17%

7.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 19029 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,12⁻⁷)/0,12 = 4,564

Ціна придбання, перерахована на рік

80 000/4,564 = 17 529,42

EAC

EAC = 17 529,42 + 1 500 = €19 029,42

Відповідь

EAC = €19 029,42

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 6,993 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 1 337,87

NPV(10%) = −1 900,83

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·1 337,87/(1 337,87 − (−1 900,83)) = 7,065%

точно: NPV(6,993%) = 0 → IRR = 6,993%

Відповідь

IRR = 6,993%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation