Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 7,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €8 000g = 2,5%r = 7,5%

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €150 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €150 0005,4% / 12N = 300

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 8%YTM = 4%n = 6

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% двома піврічними платежами й погашається через 6 років. Вона продається за €1 082. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.

F = €1 000купон = 4,5% (2×)n = 6P = €1 082

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,75. Вартість власного капіталу 9%, вартість боргу до оподаткування 3%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC.

D/E = 0,75r_e = 9%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 000 000 акцій по €34,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,3r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €400 000. Він приносить €38 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €38 000g = 2%r = 10%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €80 000 приносить €24 000 наприкінці кожного року протягом 5 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €80 000CF = €24 000n = 5

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 160000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,075 − 0,025) = 8 000/0,05 = €160 000,00

Відповідь

PV = €160 000,00

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 912,2 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·25 = 300

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,26

A = 150 000·0,0045/(1 − 0,26) = €912,19

Відповідь

A = €912,19

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1212 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €40,00, i = 0,02, N = 12

Теперішня вартість купонів

€40,00·(1 − 0,7885)/0,02 = €423,01

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,7885 = €788,49

Ціна

P = €1 211,51

Відповідь

P = €1 211,51

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 2,997 %

За період

C = €22,50, N = 12

Чисельний розв’язок

i = 1,498% за півроку

YTM

YTM = 2·1,498% = 2,997%

Відповідь

YTM = 2,997%

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,097 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги з D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·9% + 0,4286·3%·(1 − 0,258) = 6,097%

Відповідь

WACC = 6,097%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,91 %

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€34,50 = €69 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 4% + 1,3·4,5% = 9,85%

Ваги

V = €88 200 000, E/V = 0,7823, D/V = 0,2177

WACC

WACC = 0,7823·9,85% + 0,2177·7%·(1 − 0,21) = 8,91%

Відповідь

WACC = 8,91%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 75000 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 38 000/(0,1 − 0,02) = 475 000,00

NPV

NPV = 475 000,00 − 400 000 = €75 000,00

Відповідь

NPV = €75 000,00

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 15,24 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 80 000/24 000 = 3,333

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 15%: 3,352

i = 16%: 3,274

IRR = 15,24%

Відповідь

IRR = 15,24%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation