Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 6 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 4,8 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €20 0004,8% / 12n = 6

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €200 наприкінці кожного місяця протягом 20 років. Рахунок дає 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2006% / 12N = 240

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 15 років і виплачує річні купони. Вона продається за €829, коли дохідність до погашення становить 8%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 15P = €829YTM = 8%

c = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з 16 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 7%) продається за €1 101. Емітент може достроково викупити її через 6 років за ціною викупу €1 070. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.

F = €1 000купон = 7%P = €1 101ціна викупу = €1 070дострокове погашення через 6 роки

YTC = %

5.CAPM і WACCСередня

Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €6 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу 10%, вартість привілейованого капіталу 6,5%, вартість боргу до оподаткування 5%. Ставка податку 30%. Знайдіть WACC.

E = €6 000 000P_s = €1 500 000D = €5 000 000r_e = 10%r_p = 6,5%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має 1 000 000 акцій, що торгуються за €32,50; балансова вартість її власного капіталу €9 800 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,20 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €9 800 000 і вартість до оподаткування 4,5%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 1 000 000P₀ = €32,50балансовий власний капітал = €9 800 000D₀ = €1,20g = 4%D = €9 800 000r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €8 000, €10 000, €5 000, €6 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 10 000CF₃ = 5 000CF₄ = 6 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €150 000. Його грошовий потік становить €41 500 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 4. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €41 500g = 5%n = 4r = 10%

NPV = €

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 15004 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·6 = 72

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,333 = €15 003,85

Відповідь

PV = €15 003,85

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 92408 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·20 = 240

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(3,31 − 1)/0,005 = €92 408,18

Відповідь

FV = €92 408,18

Самі ви внесли €48 000; решта — відсотки.

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 6,002 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,08)⁻¹⁵ = €315,24

Купон

C = (829 − 315,24)/8,559 = €60,02

Купонна ставка

c = 60,02/1000 = 6,002%

Відповідь

c = 6,002%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTC = 5,954 %

Рівняння для дохідності

1101 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1070/(1 + y)⁶

Чисельний розв’язок

y = 5%: €1 153,75

y = 6%: €1 098,52

YTC = 5,954%

Відповідь

YTC = 5,954%

Дохідність до погашення 6,001%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,98 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = 6 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €12 500 000

E/V = 0,48, P_s/V = 0,12, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,48·10% + 0,12·6,5% + 0,4·5%·(1 − 0,3) = 6,98%

Відповідь

WACC = 6,98%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,847 %

Вартість власного капіталу

D₁ = 1,2·1,04 = €1,25

r_e = 1,248/32,5 + 0,04 = 7,84%

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€32,50 = €32 500 000

V = €42 300 000, E/V = 0,7683, D/V = 0,2317

WACC

WACC = 0,7683·7,84% + 0,2317·4,5%·(1 − 0,21) = 6,847%

Відповідь

WACC = 6,847%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 4360 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 8 000/1,08 = 7 407,41

CF₂/(1 + 0,08)² = 10 000/1,166 = 8 573,39

CF₃/(1 + 0,08)³ = 5 000/1,26 = 3 969,16

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 6 000/1,36 = 4 410,18

Додайте

NPV = €4 360,14

Відповідь

NPV = €4 360,14

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −9072 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,05)/(1,1))⁴ = 0,8302

PV = 41 500/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,8302) = 140 928,09

NPV

NPV = 140 928,09 − 150 000 = −€9 071,91

Відповідь

NPV = −€9 071,91

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation