Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 4 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 10 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €8 000g = 4%r = 10%

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €100 000 через 6 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €100 0003% / 12N = 72

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 4%n = 3

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з 20 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 9%) продається за €1 275. Емітент може достроково викупити її через 5 років за ціною викупу €1 090. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.

F = €1 000купон = 9%P = €1 275ціна викупу = €1 090дострокове погашення через 5 роки

YTC = %

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 1,2 має необхідну дохідність 6,4%. Безризикова ставка 1%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 1,2r_e = 6,4%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 4 000 000 акцій по €21,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 6%. Знайдіть WACC.

β = 1,2r_f = 1,5%r_m = 6%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €50 000. Він приносить €6 500 наприкінці кожного року протягом 8 років, а потім його можна продати за €7 500. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €50 000CF = €6 500S = €7 500n = 8r = 10%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €12 000, €12 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 133333 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,1 − 0,04) = 8 000/0,06 = €133 333,33

Відповідь

PV = €133 333,33

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 1269 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·6 = 72

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,0025/(1,197 − 1) = €1 269,37

Відповідь

A = €1 269,37

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 972 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €15,00, i = 0,02, N = 6

Теперішня вартість купонів

€15,00·(1 − 0,888)/0,02 = €84,02

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,888 = €887,97

Ціна

P = €971,99

Відповідь

P = €971,99

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTC = 4,401 %

Рівняння для дохідності

1275 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1090/(1 + y)⁵

Чисельний розв’язок

y = 4%: €1 296,56

y = 5%: €1 243,70

YTC = 4,401%

Відповідь

YTC = 4,401%

Дохідність до погашення 6,504%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 5,5 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (6,4% − 1%)/1,2 = 4,5%

Ринкова дохідність

r_m = 1% + 4,5% = 5,5%

Відповідь

r_m = 5,5%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,536 %

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€21,50 = €86 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,2·4,5% = 6,9%

Ваги

V = €95 800 000, E/V = 0,8977, D/V = 0,1023

WACC

WACC = 0,8977·6,9% + 0,1023·4,5%·(1 − 0,258) = 6,536%

Відповідь

WACC = 6,536%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −11824 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

6 500·5,335 = 34 677,02

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

7 500/2,144 = 3 498,81

NPV

NPV = −50 000 + 34 677,02 + 3 498,81 = −€11 824,17

Відповідь

NPV = −€11 824,17

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 13,07 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(10%) = 826,45

NPV(15%) = −491,49

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 10 + 5·826,45/(826,45 − (−491,49)) = 13,14%

точно: NPV(13,07%) = 0 → IRR = 13,07%

Відповідь

IRR = 13,07%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation