У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 2 років вам потрібно €15 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €15 0005% / 12n = 2
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €5 000 під 6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €125. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €5 000A = €1256% / 12
N = платежів
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 9%n = 7
P = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 10 років і продається за €1 090. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 10P = €1 090
YTM = %
5.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 1,5. Вартість власного капіталу 11%, вартість боргу до оподаткування 3%, а ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
D/E = 1,5re = 11%rd = 3%T = 21%
WACC = %
6.CAPM і WACCСкладна
У компанії 4 000 000 акцій по €20,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 28%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.
β = 0,8rf = 4%rm = 9%rd = 6%T = 28%
WACC = %
7.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €18 000, €33 000, €33 000, €29 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €50 000. Його грошовий потік становить €11 500 наприкінці року 1 і зростає на 4 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 4. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €50 000CF1 = €11 500g = 4%n = 4r = 8%
NPV = €
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 13575 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·2 = 24
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,105 = €13 575,38
Відповідь
PV = €13 575,38
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 45 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,005/125 = 0,8
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8)/ln(1,005) = 44,74
Округлення вгору до повних платежів
Після 44 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 45
Відповідь
N = 45 платежів
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 770 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,045, N = 14
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,54)/0,045 = €230,01
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,54 = €539,97
Ціна
P = €769,99
Відповідь
P = €769,99
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
4.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 1,998 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·11% + 0,6·3%·(1 − 0,21) = 5,822%
Відповідь
WACC = 5,822%
6.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,593 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 4 000 000·€20,50 = €82 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 0,8·5% = 8%
Ваги
V = €92 200 000, E/V = 0,8894, D/V = 0,1106
WACC
WACC = 0,8894·8% + 0,1106·6%·(1 − 0,28) = 7,593%
Відповідь
WACC = 7,593%
7.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 13237 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 18 000/1,1 = 16 363,64
CF2/(1 + 0,1)2 = 33 000/1,21 = 27 272,73
CF3/(1 + 0,1)3 = 33 000/1,331 = 24 793,39
CF4/(1 + 0,1)4 = 29 000/1,464 = 19 807,39
Додайте
NPV = €13 237,14
Відповідь
NPV = €13 237,14
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
8.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −9716 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.