Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 4,8 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 6 років.

PV = €2 0004,8% / 12n = 6

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 12 років. Рахунок дає 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2503% / 12N = 144

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Ви купуєте облігацію з 11 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 2%), коли її дохідність до погашення становить 8%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 8,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.

F = €1 000купон = 2%n = 11y₀ = 8%y₁ = 8,5%

HPR = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 045 з дохідністю до погашення 5% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 8,3 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 100 базисних пунктів.

P₀ = €1 045y = 5%D = 8,3Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 0,6 має необхідну дохідність 5%. Безризикова ставка 2%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 0,6r_e = 5%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 1 000 000 акцій по €42,00 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,1r_f = 3%r_m = 9,5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €7 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €7 000g = 2%r = 8%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт A коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €12 000 і приносить €3 000, €5 000, €7 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 000, 5 000, 7 000

r* = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 2666 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·6 = 72

Майбутня вартість

FV = 2 000·(1 + 0,004)⁷² = 2 000·1,333 = €2 665,98

Відповідь

FV = €2 665,98

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 43269 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·12 = 144

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,433 − 1)/0,0025 = €43 268,56

Відповідь

FV = €43 268,56

Самі ви внесли €36 000; решта — відсотки.

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: HPR = 3,822 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна купівлі

C = €20,00, i = 0,08, N = 11

€20,00·(1 − 0,4289)/0,08 + €1 000·0,4289 = €142,78 + €428,88 = €571,66

Ціна продажу

C = €20,00, i = 0,085, N = 10

€20,00·(1 − 0,4423)/0,085 + €1 000·0,4423 = €131,23 + €442,29 = €573,51

Дохідність за період володіння

HPR = (20 + 573,51 − 571,66)/571,66 = 3,822%

Відповідь

HPR = 3,822%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1128 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 8,3/1,05 = 7,905

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −7,905·(−0,01) = 7,905%

P ≈ 1045·(1 + 0,07905) = €1 127,60

Відповідь

P = €1 127,60

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 7 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (5% − 2%)/0,6 = 5%

Ринкова дохідність

r_m = 2% + 5% = 7%

Відповідь

r_m = 7%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,939 %

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€42,00 = €42 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3% + 1,1·6,5% = 10,15%

Ваги

V = €52 200 000, E/V = 0,8046, D/V = 0,1954

WACC

WACC = 0,8046·10,15% + 0,1954·5%·(1 − 0,21) = 8,939%

Відповідь

WACC = 8,939%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 16667 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 7 000/(0,08 − 0,02) = 116 666,67

NPV

NPV = 116 666,67 − 100 000 = €16 666,67

Відповідь

NPV = €16 666,67

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: r* = 4,386 %

Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.

Різниця грошових потоків

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 6 000 = −3 000

ΔCF₂ = 5 000 − 4 000 = 1 000

ΔCF₃ = 7 000 − 2 500 = 4 500

IRR різниці

NPV_Δ(4%) = 40,42

NPV_Δ(5%) = −62,84

r* = 4,386%

Відповідь

r* = 4,386%

Перевірка: при 4,386% обидві NPV дорівнюють €1 616,66.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation