Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €3 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 4 років.

PV = €3 0003% / 12n = 4

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 15 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 5 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 15? Знайдіть FV.

A = €6 000i = 5%n = 15

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Ви купуєте облігацію з 11 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 3%), коли її дохідність до погашення становить 4%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.

F = €1 000купон = 3%n = 11y₀ = 4%y₁ = 5%

HPR = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з 11 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 7%) продається за €1 213. Емітент може достроково викупити її через 4 років за ціною викупу €1 070. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.

F = €1 000купон = 7%P = €1 213ціна викупу = €1 070дострокове погашення через 4 роки

YTC = %

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 0,8 має необхідну дохідність 7,2%. Безризикова ставка 4%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 0,8r_e = 7,2%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,9. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 1. Ставка податку 21%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e за нової структури капіталу.

β_U = 0,9D/E = 1T = 21%r_f = 3,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €18 000, €15 000, €18 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 15 000CF₃ = 18 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €17 000, €18 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 000CF₂ = 18 500

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 3382 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·4 = 48

Майбутня вартість

FV = 3 000·(1 + 0,0025)⁴⁸ = 3 000·1,127 = €3 381,98

Відповідь

FV = €3 381,98

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 135945 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,05)¹⁵ − 1)/0,05 = 21,58

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 6 000·21,58·1,05 = €135 944,95

Відповідь

FV = €135 944,95

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: HPR = −4,037 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна купівлі

C = €30,00, i = 0,04, N = 11

€30,00·(1 − 0,6496)/0,04 + €1 000·0,6496 = €262,81 + €649,58 = €912,40

Ціна продажу

C = €30,00, i = 0,05, N = 10

€30,00·(1 − 0,6139)/0,05 + €1 000·0,6139 = €231,65 + €613,91 = €845,57

Дохідність за період володіння

HPR = (30 + 845,57 − 912,40)/912,40 = −4,037%

Відповідь

HPR = −4,037%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTC = 2,951 %

Рівняння для дохідності

1213 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1070/(1 + y)⁴

Чисельний розв’язок

y = 2%: €1 255,06

y = 3%: €1 210,88

YTC = 2,951%

Відповідь

YTC = 2,951%

Дохідність до погашення 4,502%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 8 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (7,2% − 4%)/0,8 = 4%

Ринкова дохідність

r_m = 4% + 4% = 8%

Відповідь

r_m = 8%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 10,75 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Бета з урахуванням боргу

β_L = 0,9·(1 + 0,79·1) = 1,611

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,611·4,5% = 10,75%

Відповідь

r_e = 10,75%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −1184 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 18 000/1,08 = 16 666,67

CF₂/(1 + 0,08)² = 15 000/1,166 = 12 860,08

CF₃/(1 + 0,08)³ = 18 000/1,26 = 14 288,98

Додайте

NPV = €−1 184,27

Відповідь

NPV = €−1 184,27

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 26,5 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(25%) = 440,00

NPV(30%) = −976,33

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 25 + 5·440,00/(440,00 − (−976,33)) = 26,55%

точно: NPV(26,5%) = 0 → IRR = 26,5%

Відповідь

IRR = 26,5%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation