Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 4 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 8 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €8 000g = 4%r = 8%

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €5 000 під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €125. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €5 000A = €1255,4% / 12

N = платежів

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 4 років і виплачує річні купони. Вона продається за €965, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 4P = €965YTM = 5%

c = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 6 років і продається за €900. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 3%n = 6P = €900

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 1,2 має необхідну дохідність 6,8%. Безризикова ставка 2%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 1,2r_e = 6,8%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 1 000 000 акцій по €53,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 9%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €400 000. Він приносить €31 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 3 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €31 000g = 3%r = 10%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт A коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €20 000 і приносить €5 000, €9 000, €10 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 500B: −20 000, 5 000, 9 000, 10 500

r* = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 200000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,08 − 0,04) = 8 000/0,04 = €200 000,00

Відповідь

PV = €200 000,00

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 45 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,0045

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,0045/125 = 0,82

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,82)/ln(1,004) = 44,2

Округлення вгору до повних платежів

Після 44 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 45

Відповідь

N = 45 платежів

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 4,013 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,05)⁻⁴ = €822,70

Купон

C = (965 − 822,70)/3,546 = €40,13

Купонна ставка

c = 40,13/1000 = 4,013%

Відповідь

c = 4,013%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 4,968 %

Рівняння для дохідності

€900 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Чисельний розв’язок

P(4%) = €947,58, P(5%) = €898,49

YTM = 4,968%

Відповідь

YTM = 4,968%

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 6 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (6,8% − 2%)/1,2 = 4%

Ринкова дохідність

r_m = 2% + 4% = 6%

Відповідь

r_m = 6%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,55 %

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€53,50 = €53 500 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·7% = 10,4%

Ваги

V = €73 500 000, E/V = 0,7279, D/V = 0,2721

WACC

WACC = 0,7279·10,4% + 0,2721·5%·(1 − 0,28) = 8,55%

Відповідь

WACC = 8,55%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 42857 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 31 000/(0,1 − 0,03) = 442 857,14

NPV

NPV = 442 857,14 − 400 000 = €42 857,14

Відповідь

NPV = €42 857,14

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: r* = 6,856 %

Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.

Різниця грошових потоків

ΔCF₀ = −20 000 − (−10 000) = −10 000

ΔCF₁ = 5 000 − 6 000 = −1 000

ΔCF₂ = 9 000 − 4 000 = 5 000

ΔCF₃ = 10 500 − 2 500 = 8 000

IRR різниці

NPV_Δ(6%) = 223,54

NPV_Δ(7%) = −37,00

r* = 6,856%

Відповідь

r* = 6,856%

Перевірка: при 6,856% обидві NPV дорівнюють €1 167,25.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation