Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 7 років вам потрібно €5 000. Рахунок дає 4,8 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €5 0004,8% / 12n = 7

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €2 000 на початку кожного року протягом 18 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 8 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 18? Знайдіть FV.

A = €2 000i = 8%n = 18

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 10 років. Її дохідність до погашення змінюється з 3% до 4%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 2%n = 10y₁ = 3%y₂ = 4%

ΔP = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% і погашається через 3 років. Дохідність до погашення 7%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 3%n = 3YTM = 7%

D = роки

5.CAPM і WACCСередня

Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €10 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 000 000 і боргом вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу 9%, вартість привілейованого капіталу 8%, вартість боргу до оподаткування 4,5%. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC.

E = €10 000 000P_s = €1 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_p = 8%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має 1 000 000 акцій, що торгуються за €24,00; балансова вартість її власного капіталу €9 600 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,50 на акцію, і дивіденди зростають на 2% на рік. Її борг має ринкову вартість €24 000 000 і вартість до оподаткування 5%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 1 000 000P₀ = €24,00балансовий власний капітал = €9 600 000D₀ = €2,50g = 2%D = €24 000 000r_d = 5%T = 25%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000, служить 9 років, а його експлуатація коштує €3 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €40 000M = €3 000n = 9r = 5%

EAC = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт A коштує €30 000 і приносить €17 000, €11 500, €7 000 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €32 000 і приносить €8 000, €13 500, €17 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.

A: −30 000, 17 000, 11 500, 7 000B: −32 000, 8 000, 13 500, 17 000

r* = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 3576 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·7 = 84

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,398 = €3 575,51

Відповідь

PV = €3 575,51

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 80893 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,08)¹⁸ − 1)/0,08 = 37,45

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 2 000·37,45·1,08 = €80 892,53

Відповідь

FV = €80 892,53

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = −76,92 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €20,00, i = 0,03, N = 10

€20,00·(1 − 0,7441)/0,03 + €1 000·0,7441 = €170,60 + €744,09 = €914,70

Ціна за нової дохідності

C = €20,00, i = 0,04, N = 10

€20,00·(1 − 0,6756)/0,04 + €1 000·0,6756 = €162,22 + €675,56 = €837,78

Зміна

ΔP = 837,78 − 914,70 = −€76,92

Відповідь

ΔP = −€76,92

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 2,908 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 30/1,07 = 28,04, t·PV = 28,04

t = 2: 30/1,145 = 26,20, t·PV = 52,41

t = 3: 1030/1,225 = 840,79, t·PV = 2 522,36

Дюрація

P = 895,03

D = 2 602,80/895,03 = 2,908

Відповідь

D = 2,908 роки

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,715 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = 10 000 000 + 1 000 000 + 3 000 000 = €14 000 000

E/V = 0,7143, P_s/V = 0,07143, D/V = 0,2143

WACC

WACC = 0,7143·9% + 0,07143·8% + 0,2143·4,5%·(1 − 0,258) = 7,715%

Відповідь

WACC = 7,715%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,188 %

Вартість власного капіталу

D₁ = 2,5·1,02 = €2,55

r_e = 2,55/24 + 0,02 = 12,63%

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€24,00 = €24 000 000

V = €48 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·12,63% + 0,5·5%·(1 − 0,25) = 8,188%

Відповідь

WACC = 8,188%

7.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 8628 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,05⁻⁹)/0,05 = 7,108

Ціна придбання, перерахована на рік

40 000/7,108 = 5 627,60

EAC

EAC = 5 627,60 + 3 000 = €8 627,60

Відповідь

EAC = €8 627,60

8.NPV і IRR

Відповідь: r* = 4,412 %

Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.

Різниця грошових потоків

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 8 000 − 17 000 = −9 000

ΔCF₂ = 13 500 − 11 500 = 2 000

ΔCF₃ = 17 000 − 7 000 = 10 000

IRR різниці

NPV_Δ(4%) = 85,23

NPV_Δ(5%) = −118,99

r* = 4,412%

Відповідь

r* = 4,412%

Перевірка: при 4,412% обидві NPV дорівнюють €2 979,93.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation