Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 15 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 15%m = 365

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €3 000 на початку кожного року протягом 19 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 7 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 19? Знайдіть FV.

A = €3 000i = 7%n = 19

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 8%YTM = 9%n = 3

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 3%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 8%n = 5YTM = 3%

D = роки

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €12 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.

E = €12 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €19,00; балансова вартість її власного капіталу €28 500 000. Вона щойно виплатила дивіденд €0,50 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €28 500 000 і вартість до оподаткування 3%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 5 000 000P₀ = €19,00балансовий власний капітал = €28 500 000D₀ = €0,50g = 4%D = €28 500 000r_d = 3%T = 20%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €250 000. Він приносить €21 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €21 000g = 1%r = 8%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €26 500, €24 000, €18 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −50 000CF₁ = 26 500CF₂ = 24 000CF₃ = 18 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 16,18 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,15/365 = 0,000411

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,000411)³⁶⁵ − 1 = 1,162 − 1 = 16,18%

Відповідь

EAR = 16,18%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 119986 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,07)¹⁹ − 1)/0,07 = 37,38

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 3 000·37,38·1,07 = €119 986,48

Відповідь

FV = €119 986,48

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 974,2 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €40,00, i = 0,045, N = 6

Теперішня вартість купонів

€40,00·(1 − 0,7679)/0,045 = €206,31

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,7679 = €767,90

Ціна

P = €974,21

Відповідь

P = €974,21

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 4,386 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 80/1,03 = 77,67, t·PV = 77,67

t = 2: 80/1,061 = 75,41, t·PV = 150,82

t = 3: 80/1,093 = 73,21, t·PV = 219,63

t = 4: 80/1,126 = 71,08, t·PV = 284,32

t = 5: 1080/1,159 = 931,62, t·PV = 4 658,09

Дюрація

P = 1 228,99

D = 5 390,52/1 228,99 = 4,386

Відповідь

D = 4,386 роки

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 11,51 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €13 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692

WACC

WACC = 0,9231·12% + 0,07692·7%·(1 − 0,2) = 11,51%

Відповідь

WACC = 11,51%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 5,736 %

Вартість власного капіталу

D₁ = 0,5·1,04 = €0,52

r_e = 0,52/19 + 0,04 = 6,737%

Ринкові вартості

E = 5 000 000·€19,00 = €95 000 000

V = €123 500 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·6,737% + 0,2308·3%·(1 − 0,2) = 5,736%

Відповідь

WACC = 5,736%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 50000 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 21 000/(0,08 − 0,01) = 300 000,00

NPV

NPV = 300 000,00 − 250 000 = €50 000,00

Відповідь

NPV = €50 000,00

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 18,86 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 3 026,22

NPV(20%) = −833,33

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·3 026,22/(3 026,22 − (−833,33)) = 18,92%

точно: NPV(18,86%) = 0 → IRR = 18,86%

Відповідь

IRR = 18,86%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation