Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 2 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €10 0004,8% / 4n = 2

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €2 000 на початку кожного року протягом 21 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 3 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 21? Знайдіть FV.

A = €2 000i = 3%n = 21

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 5%n = 11

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 3 років і продається за €975. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 8%n = 3P = €975

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має власний капітал ринковою вартістю €15 000 000 і вартістю власного капіталу 14%. Її борг складається з 8 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 5%, 9 років до погашення), кожна з яких торгується за €932. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.

E = €15 000 000r_e = 14%облігації: 8 000 × €932купон = 5%n = 9T = 25,8%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €15 000 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 000CF₂ = 15 000CF₃ = 15 000CF₄ = 15 000CF₅ = 15 000CF₆ = 15 000

DPB = роки

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €12 500, €9 000, €11 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 500CF₂ = 9 000CF₃ = 11 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 9090 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·2 = 8

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,1 = €9 089,83

Відповідь

PV = €9 089,83

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 59074 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,03)²¹ − 1)/0,03 = 28,68

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 2 000·28,68·1,03 = €59 073,56

Відповідь

FV = €59 073,56

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 832,3 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €15,00, i = 0,025, N = 22

Теперішня вартість купонів

€15,00·(1 − 0,5809)/0,025 = €251,48

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,5809 = €580,86

Ціна

P = €832,35

Відповідь

P = €832,35

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 8,987 %

Рівняння для дохідності

€975 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Чисельний розв’язок

P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €974,69

YTM = 8,987%

Відповідь

YTM = 8,987%

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 9,475 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·13% + 0,375·4,5%·(1 − 0,2) = 9,475%

Відповідь

WACC = 9,475%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 10,83 %

Вартість боргу (YTM)

932 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 6%

Ринкові вартості

D = 8 000·€932 = €7 456 000

V = €22 456 000, E/V = 0,668, D/V = 0,332

WACC

WACC = 0,668·14% + 0,332·6%·(1 − 0,258) = 10,83%

Відповідь

WACC = 10,83%

7.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 4,263 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 15 000/1,1 = 13 636,36 → Σ = 13 636,36

рік 2: 15 000/1,21 = 12 396,69 → Σ = 26 033,06

рік 3: 15 000/1,331 = 11 269,72 → Σ = 37 302,78

рік 4: 15 000/1,464 = 10 245,20 → Σ = 47 547,98

рік 5: 15 000/1,611 = 9 313,82 → Σ = 56 861,80

Частка останнього року

DPB = 4 + 2 452,02/9 313,82 = 4,263

Відповідь

DPB = 4,263 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,333 років).

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 29,81 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(25%) = 1 392,00

NPV(30%) = −52,34

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 25 + 5·1 392,00/(1 392,00 − (−52,34)) = 29,82%

точно: NPV(29,81%) = 0 → IRR = 29,81%

Відповідь

IRR = 29,81%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation