У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 7 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €20 0003% / 12n = 7
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €25 000 під 6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €1 125. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €25 000A = €1 1256% / 12
N = платежів
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 3,5%n = 9
P = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 5 років і продається за €1 070. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 5P = €1 070
YTM = %
5.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,9. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 1,5. Ставка податку 21%, безризикова ставка 2%, ринкова премія за ризик 6,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 0,9D/E = 1,5T = 21%rf = 2%rm − rf = 6,5%
re = %
7.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €50 000, служить 8 років, а його експлуатація коштує €1 500 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €50 000M = €1 500n = 8r = 5%
EAC = €
8.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €10 000 і приносить €4 000, €5 000, €5 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 5 000CF3 = 5 500
IRR = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 16216 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·7 = 84
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,233 = €16 215,93
Відповідь
PV = €16 215,93
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 24 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,005/1125 = 0,8889
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8889)/ln(1,005) = 23,62
Округлення вгору до повних платежів
Після 23 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 24
Відповідь
N = 24 платежів
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1077 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,0175, N = 18
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,7318)/0,0175 = €344,85
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7318 = €731,78
Ціна
P = €1 076,63
Відповідь
P = €1 076,63
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
4.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 3,452 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 070 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(3%) = €1 091,59, P(4%) = €1 044,52
YTM = 3,452%
Відповідь
YTM = 3,452%
5.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,8 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·5%·(1 − 0,28) = 8,8%
Відповідь
WACC = 8,8%
6.CAPM і WACC
Відповідь: re = 14,78 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,9·(1 + 0,79·1,5) = 1,967
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2% + 1,967·6,5% = 14,78%
Відповідь
re = 14,78%
7.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 9236 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,05−8)/0,05 = 6,463
Ціна придбання, перерахована на рік
50 000/6,463 = 7 736,09
EAC
EAC = 7 736,09 + 1 500 = €9 236,09
Відповідь
EAC = €9 236,09
8.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 19,93 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 875,32
NPV(20%) = −11,57
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.