Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 7 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €20 0004,8% / 4n = 7

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €8 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 5 років. Ставка — 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €8 0003,6% / 12N = 60

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 5,5%n = 6

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 035 з дохідністю до погашення 4% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 3,8 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 75 базисних пунктів.

P₀ = €1 035y = 4%D = 3,8Δy = −75 bp

P = €

5.CAPM і WACCСередня

Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €12 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 000 000 і боргом вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу 12%, вартість привілейованого капіталу 7%, вартість боргу до оподаткування 4%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC.

E = €12 000 000P_s = €1 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_p = 7%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має 4 000 000 акцій, що торгуються за €50,50; балансова вартість її власного капіталу €121 200 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,50 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €202 000 000 і вартість до оподаткування 3%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 4 000 000P₀ = €50,50балансовий власний капітал = €121 200 000D₀ = €2,50g = 5%D = €202 000 000r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €10 000, €13 000, €13 000, €13 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 000CF₃ = 13 000CF₄ = 13 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €8 000, €15 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 15 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 14321 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·7 = 28

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,397 = €14 321,08

Відповідь

PV = €14 321,08

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 145,9 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·5 = 60

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,8355

A = 8 000·0,003/(1 − 0,8355) = €145,89

Відповідь

A = €145,89

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1025 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €30,00, i = 0,0275, N = 12

Теперішня вартість купонів

€30,00·(1 − 0,7221)/0,0275 = €303,13

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,7221 = €722,13

Ціна

P = €1 025,26

Відповідь

P = €1 025,26

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1063 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 3,8/1,04 = 3,654

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −3,654·(−0,0075) = 2,74%

P ≈ 1035·(1 + 0,0274) = €1 063,36

Відповідь

P = €1 063,36

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,958 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = 12 000 000 + 1 000 000 + 6 000 000 = €19 000 000

E/V = 0,6316, P_s/V = 0,05263, D/V = 0,3158

WACC

WACC = 0,6316·12% + 0,05263·7% + 0,3158·4%·(1 − 0,2) = 8,958%

Відповідь

WACC = 8,958%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,284 %

Вартість власного капіталу

D₁ = 2,5·1,05 = €2,63

r_e = 2,625/50,5 + 0,05 = 10,2%

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€50,50 = €202 000 000

V = €404 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10,2% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 6,284%

Відповідь

WACC = 6,284%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 9364 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 10 000/1,09 = 9 174,31

CF₂/(1 + 0,09)² = 13 000/1,188 = 10 941,84

CF₃/(1 + 0,09)³ = 13 000/1,295 = 10 038,39

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 13 000/1,412 = 9 209,53

Додайте

NPV = €9 364,06

Відповідь

NPV = €9 364,06

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 8,882 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 1 224,49

NPV(10%) = −330,58

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·1 224,49/(1 224,49 − (−330,58)) = 8,937%

точно: NPV(8,882%) = 0 → IRR = 8,882%

Відповідь

IRR = 8,882%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation