Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €2 000 наприкінці кожного року протягом 12 років. Процентна ставка 10 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €2 000i = 10%n = 12

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €150 наприкінці кожного місяця протягом 15 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €1504,8% / 12N = 180

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 5%n = 9

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 4 років. Дохідність до погашення 7%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 4%n = 4YTM = 7%

D = роки

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 0,9 має необхідну дохідність 7%. Безризикова ставка 2,5%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 0,9r_e = 7%r_f = 2,5%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 1 000 000 акцій по €30,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 6,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,2r_f = 1%r_m = 6,5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €80 000, служить 8 років, а його експлуатація коштує €5 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €80 000M = €5 000n = 8r = 10%

EAC = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €24 500, €29 500, €22 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 24 500CF₂ = 29 500CF₃ = 22 500

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 13627 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3186)/0,1 = 6,814

Теперішня вартість

PV = 2 000·6,814 = €13 627,38

Відповідь

PV = €13 627,38

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 39431 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·15 = 180

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2,051 − 1)/0,004 = €39 430,68

Відповідь

FV = €39 430,68

Самі ви внесли €27 000; решта — відсотки.

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1144 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €35,00, i = 0,025, N = 18

Теперішня вартість купонів

€35,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €502,37

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,6412 = €641,17

Ціна

P = €1 143,53

Відповідь

P = €1 143,53

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 3,761 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 40/1,07 = 37,38, t·PV = 37,38

t = 2: 40/1,145 = 34,94, t·PV = 69,88

t = 3: 40/1,225 = 32,65, t·PV = 97,96

t = 4: 1040/1,311 = 793,41, t·PV = 3 173,64

Дюрація

P = 898,38

D = 3 378,86/898,38 = 3,761

Відповідь

D = 3,761 роки

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 7,5 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (7% − 2,5%)/0,9 = 5%

Ринкова дохідність

r_m = 2,5% + 5% = 7,5%

Відповідь

r_m = 7,5%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,699 %

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€30,50 = €30 500 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 1% + 1,2·5,5% = 7,6%

Ваги

V = €40 500 000, E/V = 0,7531, D/V = 0,2469

WACC

WACC = 0,7531·7,6% + 0,2469·5%·(1 − 0,21) = 6,699%

Відповідь

WACC = 6,699%

7.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 19996 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,1⁻⁸)/0,1 = 5,335

Ціна придбання, перерахована на рік

80 000/5,335 = 14 995,52

EAC

EAC = 14 995,52 + 5 000 = €19 995,52

Відповідь

EAC = €19 995,52

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 41,48 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(40%) = 750,73

NPV(45%) = −1 692,16

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 40 + 5·750,73/(750,73 − (−1 692,16)) = 41,54%

точно: NPV(41,48%) = 0 → IRR = 41,48%

Відповідь

IRR = 41,48%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation