У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €20 000 під номінальну ставку 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 9 років.
PV = €20 0004,8% / 4n = 9
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €15 0004,2% / 12N = 72
A = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 5 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%), коли її дохідність до погашення становить 5,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 4,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 5y0 = 5,5%y1 = 4,5%
HPR = %
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €995 з дохідністю до погашення 5% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 11,7 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 50 базисних пунктів.
P0 = €995y = 5%D = 11,7Δy = +50 bp
P = €
5.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,6. Ставка податку 30%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €37 000, €32 000, €34 000, €16 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €10 000, €14 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 14 500
IRR = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 30728 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·6 = 72
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,7776
A = 15 000·0,0035/(1 − 0,7776) = €236,05
Відповідь
A = €236,05
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 9,124 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 11,7/1,05 = 11,14
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −11,14·(0,005) = −5,571%
P ≈ 995·(1 − 0,05571) = €939,56
Відповідь
P = €939,56
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
5.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,07 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·14% + 0,6·3,5%·(1 − 0,3) = 7,07%
Відповідь
WACC = 7,07%
6.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,881 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,1/(1 + 0,7·0,4) = 0,8594
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,8594·(1 + 0,7·0,6) = 1,22
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,22·4% = 7,881%
Відповідь
re = 7,881%
7.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 25445 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 37 000/1,08 = 34 259,26
CF2/(1 + 0,08)2 = 32 000/1,166 = 27 434,84
CF3/(1 + 0,08)3 = 34 000/1,26 = 26 990,30
CF4/(1 + 0,08)4 = 16 000/1,36 = 11 760,48
Додайте
NPV = €25 444,88
Відповідь
NPV = €25 444,88
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
8.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 13,74 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(10%) = 1 074,38
NPV(15%) = −340,26
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.