Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 2 років.

PV = €2 0003% / 12n = 2

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €5 000 на початку кожного року протягом 25 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 4 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 25? Знайдіть FV.

A = €5 000i = 4%n = 25

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 9%n = 9

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 7 років і продається за €920. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 5%n = 7P = €920

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.

E = €5 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 4 000 000 акцій по €47,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 28%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 5,5%. Знайдіть WACC.

β = 0,6r_f = 1%r_m = 5,5%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €18 000, €17 000, €21 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 17 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт A коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €2 000 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €15 000 і приносить €4 500, €6 000, €8 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −15 000, 4 500, 6 000, 8 000

r* = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 2124 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·2 = 24

Майбутня вартість

FV = 2 000·(1 + 0,0025)²⁴ = 2 000·1,062 = €2 123,51

Відповідь

FV = €2 123,51

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 216559 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,04)²⁵ − 1)/0,04 = 41,65

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 5 000·41,65·1,04 = €216 558,72

Відповідь

FV = €216 558,72

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 574,4 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €10,00, i = 0,045, N = 18

Теперішня вартість купонів

€10,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €121,60

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,4528 = €452,80

Ціна

P = €574,40

Відповідь

P = €574,40

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 6,456 %

Рівняння для дохідності

€920 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Чисельний розв’язок

P(6%) = €944,18, P(7%) = €892,21

YTM = 6,456%

Відповідь

YTM = 6,456%

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,029 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·9% + 0,2857·7%·(1 − 0,2) = 8,029%

Відповідь

WACC = 8,029%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 3,733 %

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€47,50 = €190 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 1% + 0,6·4,5% = 3,7%

Ваги

V = €194 800 000, E/V = 0,9754, D/V = 0,02464

WACC

WACC = 0,9754·3,7% + 0,02464·7%·(1 − 0,28) = 3,733%

Відповідь

WACC = 3,733%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 3813 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 18 000/1,07 = 16 822,43

CF₂/(1 + 0,07)² = 17 000/1,145 = 14 848,46

CF₃/(1 + 0,07)³ = 21 000/1,225 = 17 142,26

Додайте

NPV = €3 813,14

Відповідь

NPV = €3 813,14

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: r* = 8,594 %

Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.

Різниця грошових потоків

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 500 − 6 000 = −1 500

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 8 000 − 2 000 = 6 000

IRR різниці

NPV_Δ(8%) = 88,78

NPV_Δ(9%) = −59,69

r* = 8,594%

Відповідь

r* = 8,594%

Перевірка: при 8,594% обидві NPV дорівнюють €478,93.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation