У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €2 000 під 7 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 17 років.
PV = €2 000r = 7%t = 17
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €15 0007,2% / 12N = 72
A = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 15 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 251, коли дохідність до погашення становить 5,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 15P = €1 251YTM = 5,5%
c = %
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 7 років і продається за €885. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 7P = €885
YTM = %
5.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,25. Вартість власного капіталу 9%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 30%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,25re = 9%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
6.CAPM і WACCСкладна
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,6. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Ставка податку 25,8%, безризикова ставка 2,5%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 0,6D/E = 0,25T = 25,8%rf = 2,5%rm − rf = 5%
re = %
7.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €40 000, служить 8 років, а його експлуатація коштує €5 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 8r = 10%
EAC = €
8.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €20 000 і приносить €9 500, €13 000, €12 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 13 000CF3 = 12 500
IRR = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 6574 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,07·17 = 1,19
e1,19 = 3,287
Майбутня вартість
FV = 2 000·3,287 = €6 574,16
Відповідь
FV = €6 574,16
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 257,2 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·6 = 72
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,65
A = 15 000·0,006/(1 − 0,65) = €257,18
Відповідь
A = €257,18
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 8,001 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,055)−15 = €447,93
Купон
C = (1251 − 447,93)/10,04 = €80,01
Купонна ставка
c = 80,01/1000 = 8,001%
Відповідь
c = 8,001%
4.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,986 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€885 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(4%) = €939,98, P(5%) = €884,27
YTM = 4,986%
Відповідь
YTM = 4,986%
5.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,83 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·9% + 0,2·4,5%·(1 − 0,3) = 7,83%
Відповідь
WACC = 7,83%
6.CAPM і WACC
Відповідь: re = 6,056 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,6·(1 + 0,742·0,25) = 0,7113
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 0,7113·5% = 6,056%
Відповідь
re = 6,056%
7.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 12498 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,1−8)/0,1 = 5,335
Ціна придбання, перерахована на рік
40 000/5,335 = 7 497,76
EAC
EAC = 7 497,76 + 5 000 = €12 497,76
Відповідь
EAC = €12 497,76
8.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 32,32 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 689,58
NPV(35%) = −749,38
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.