У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Кредитна картка нараховує номінальну ставку 18 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 18%m = 4
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €25 000 під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €625. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €25 000A = €6257,2% / 12
N = платежів
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 12 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%), коли її дохідність до погашення становить 9%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 10,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 12y0 = 9%y1 = 10,5%
HPR = %
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% двома піврічними платежами й погашається через 3 років. Вона продається за €933. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 4,5% (2×)n = 3P = €933
YTM = %
5.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,6 має необхідну дохідність 7%. Безризикова ставка 4%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,6re = 7%rf = 4%
rm = %
6.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 000 000 акцій по €53,50 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 6%. Знайдіть WACC.
β = 1,2rf = 1,5%rm = 6%rd = 5%T = 21%
WACC = %
7.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €80 000, служить 5 років, а його експлуатація коштує €3 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €80 000M = €3 000n = 5r = 12%
EAC = €
8.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €18 000, €22 000, €15 500 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,18/4 = 0,045
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,045)4 − 1 = 1,193 − 1 = 19,25%
Відповідь
EAR = 19,25%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 46 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,006/625 = 0,76
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,76)/ln(1,006) = 45,88
Округлення вгору до повних платежів
Після 45 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 46
Відповідь
N = 46 платежів
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = −1,783 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, N = 6
Чисельний розв’язок
i = 3,508% за півроку
YTM
YTM = 2·3,508% = 7,015%
Відповідь
YTM = 7,015%
5.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 9 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (7% − 4%)/0,6 = 5%
Ринкова дохідність
rm = 4% + 5% = 9%
Відповідь
rm = 9%
6.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,109 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,12−5)/0,12 = 3,605
Ціна придбання, перерахована на рік
80 000/3,605 = 22 192,78
EAC
EAC = 22 192,78 + 3 000 = €25 192,78
Відповідь
EAC = €25 192,78
8.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 13,86 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.