У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Кредитна картка нараховує номінальну ставку 19,5 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 19,5%m = 12
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €250 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €250 0004,2% / 12N = 300
A = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 2,5%n = 4
P = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 3 років і продається за €1 055. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 3P = €1 055
YTM = %
5.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Її WACC 6,39%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,8. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,75. Ставка податку 30%, безризикова ставка 1%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
βU = 0,8D/E = 0,75T = 30%rf = 1%rm − rf = 5%
re = %
7.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €22 000, €20 000, €12 000, €11 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €27 500 наприкінці року 1 і зростає на 2 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 8. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €27 500g = 2%n = 8r = 8%
NPV = €
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 21,34 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,195/12 = 0,01625
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,01625)12 − 1 = 1,213 − 1 = 21,34%
Відповідь
EAR = 21,34%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 1347 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·25 = 300
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,3506
A = 250 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €1 347,36
Відповідь
A = €1 347,36
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1095 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,0125, N = 8
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €189,20
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,9054 = €905,40
Ціна
P = €1 094,60
Відповідь
P = €1 094,60
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
4.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,017 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 055 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(4%) = €1 055,50, P(5%) = €1 027,23
YTM = 4,017%
Відповідь
YTM = 4,017%
5.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,998 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
Частка боргу у WACC
0,375·5%·(1 − 0,258) = 1,391%
Вартість власного капіталу
re = (6,39% − 1,391%)/0,625 = 7,998%
Відповідь
re = 7,998%
6.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,1 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,8·(1 + 0,7·0,75) = 1,22
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1% + 1,22·5% = 7,1%
Відповідь
re = 7,1%
7.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 3433 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 22 000/1,15 = 19 130,43
CF2/(1 + 0,15)2 = 20 000/1,322 = 15 122,87
CF3/(1 + 0,15)3 = 12 000/1,521 = 7 890,19
CF4/(1 + 0,15)4 = 11 000/1,749 = 6 289,29
Додайте
NPV = €3 432,79
Відповідь
NPV = €3 432,79
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
8.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −31797 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.