У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 10 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 3 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €10 0003% / 4n = 10
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €300 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 13? Знайдіть залишок боргу B.
P = €300 0004,8% / 12N = 360k = 156
B = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 8 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 9%n = 8
P = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 8%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 6%n = 6YTM = 8%
D = роки
5.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,4 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 21%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 6,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €10 000, €13 000, €13 000, €11 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €19 500, €15 500, €14 500, €19 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 10 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·10 = 40
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,348 = €7 416,48
Відповідь
PV = €7 416,48
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 219212 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 360 − 156 = 204
B = 1574·(1 − (1 + 0,004)−204)/0,004 = €219 211,52
Відповідь
B = €219 211,52
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 663 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,045, N = 16
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,4945)/0,045 = €168,51
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,4945 = €494,47
Ціна
P = €662,98
Відповідь
P = €662,98
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
4.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 5,168 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 60/1,08 = 55,56, t·PV = 55,56
t = 2: 60/1,166 = 51,44, t·PV = 102,88
t = 3: 60/1,26 = 47,63, t·PV = 142,89
t = 4: 60/1,36 = 44,10, t·PV = 176,41
t = 5: 60/1,469 = 40,83, t·PV = 204,17
t = 6: 1060/1,587 = 667,98, t·PV = 4 007,88
Дюрація
P = 907,54
D = 4 689,79/907,54 = 5,168
Відповідь
D = 5,168 роки
5.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,681 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,4/(1 + 0,79·0,25) = 1,169
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,169·(1 + 0,79·1,5) = 2,554
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 2,554·6,5% = 20,6%
Відповідь
re = 20,6%
7.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 5536 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 10 000/1,12 = 8 928,57
CF2/(1 + 0,12)2 = 13 000/1,254 = 10 363,52
CF3/(1 + 0,12)3 = 13 000/1,405 = 9 253,14
CF4/(1 + 0,12)4 = 11 000/1,574 = 6 990,70
Додайте
NPV = €5 535,93
Відповідь
NPV = €5 535,93
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
8.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 18,98 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.