Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 3 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €8 000g = 3%r = 5%

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €15 000 під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €475. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €15 000A = €4757,2% / 12

N = платежів

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% і погашається через 9 років. Її дохідність до погашення змінюється з 7% до 6%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 3%n = 9y₁ = 7%y₂ = 6%

ΔP = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 030 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 3,7 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 50 базисних пунктів.

P₀ = €1 030y = 7%D = 3,7Δy = −50 bp

P = €

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 500 000 акцій по €38,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 8%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €17 000, €21 000, €16 000, €21 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 15%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 21 000CF₃ = 16 000CF₄ = 21 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €80 000 приносить €10 500 наприкінці кожного року протягом 9 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €80 000CF = €10 500n = 9

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 400000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,05 − 0,03) = 8 000/0,02 = €400 000,00

Відповідь

PV = €400 000,00

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 36 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,006/475 = 0,8105

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,8105)/ln(1,006) = 35,12

Округлення вгору до повних платежів

Після 35 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 36

Відповідь

N = 36 платежів

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = 56,56 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €30,00, i = 0,07, N = 9

€30,00·(1 − 0,5439)/0,07 + €1 000·0,5439 = €195,46 + €543,93 = €739,39

Ціна за нової дохідності

C = €30,00, i = 0,06, N = 9

€30,00·(1 − 0,5919)/0,06 + €1 000·0,5919 = €204,05 + €591,90 = €795,95

Зміна

ΔP = 795,95 − 739,39 = €56,56

Відповідь

ΔP = €56,56

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1048 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 3,7/1,07 = 3,458

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −3,458·(−0,005) = 1,729%

P ≈ 1030·(1 + 0,01729) = €1 047,81

Відповідь

P = €1 047,81

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,1 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·12% + 0,5·6%·(1 − 0,3) = 8,1%

Відповідь

WACC = 8,1%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 10,86 %

Ринкові вартості

E = 2 500 000·€38,50 = €96 250 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·5,5% = 12,4%

Ваги

V = €115 450 000, E/V = 0,8337, D/V = 0,1663

WACC

WACC = 0,8337·12,4% + 0,1663·4,5%·(1 − 0,3) = 10,86%

Відповідь

WACC = 10,86%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 8189 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 17 000/1,15 = 14 782,61

CF₂/(1 + 0,15)² = 21 000/1,322 = 15 879,02

CF₃/(1 + 0,15)³ = 16 000/1,521 = 10 520,26

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 21 000/1,749 = 12 006,82

Додайте

NPV = €8 188,70

Відповідь

NPV = €8 188,70

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 3,468 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 80 000/10 500 = 7,619

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 3%: 7,786

i = 4%: 7,435

IRR = 3,468%

Відповідь

IRR = 3,468%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation