Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 6 років вам потрібно €15 000. Рахунок дає 4 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €15 0004% / 4n = 6

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €30 000 через 15 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €30 0003,6% / 12N = 180

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 5,5%n = 3

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €990 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 11,4 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 150 базисних пунктів.

P₀ = €990y = 7%D = 11,4Δy = +150 bp

P = €

5.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Її WACC 6,44%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 28%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €5 000 000D = €4 000 000WACC = 6,44%r_d = 4,5%T = 28%

r_e = %

6.CAPM і WACCСкладна

Акції компанії мають бету 1,3 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 25%, безризикова ставка 2,5%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e після зміни.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1,5T = 25%r_f = 2,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €20 000 і приносить €5 500, €6 500, €6 000, €4 000, €4 500, €5 000 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 500CF₂ = 6 500CF₃ = 6 000CF₄ = 4 000CF₅ = 4 500CF₆ = 5 000

DPB = роки

8.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €10 000 приносить €2 500 наприкінці кожного року протягом 7 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 7

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 11813 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·6 = 24

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,27 = €11 813,49

Відповідь

PV = €11 813,49

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 125,9 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·15 = 180

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,003/(1,715 − 1) = €125,94

Відповідь

A = €125,94

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 904,4 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €10,00, i = 0,0275, N = 6

Теперішня вартість купонів

€10,00·(1 − 0,8498)/0,0275 = €54,62

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8498 = €849,78

Ціна

P = €904,41

Відповідь

P = €904,41

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 831,8 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 11,4/1,07 = 10,65

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −10,65·(0,015) = −15,98%

P ≈ 990·(1 − 0,1598) = €831,79

Відповідь

P = €831,79

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 9 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

Частка боргу у WACC

0,4444·4,5%·(1 − 0,28) = 1,44%

Вартість власного капіталу

r_e = (6,44% − 1,44%)/0,5556 = 9%

Відповідь

r_e = 9%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 12,06 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

β_U = 1,3/(1 + 0,75·0,4) = 1

Перерахуйте за новим D/E

β_L = 1·(1 + 0,75·1,5) = 2,125

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 2,125·4,5% = 12,06%

Відповідь

r_e = 12,06%

7.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 4,855 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 5 500/1,1 = 5 000,00 → Σ = 5 000,00

рік 2: 6 500/1,21 = 5 371,90 → Σ = 10 371,90

рік 3: 6 000/1,331 = 4 507,89 → Σ = 14 879,79

рік 4: 4 000/1,464 = 2 732,05 → Σ = 17 611,84

рік 5: 4 500/1,611 = 2 794,15 → Σ = 20 405,99

Частка останнього року

DPB = 4 + 2 388,16/2 794,15 = 4,855

Відповідь

DPB = 4,855 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,5 років).

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 16,33 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 10 000/2 500 = 4

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 16%: 4,039

i = 17%: 3,922

IRR = 16,33%

Відповідь

IRR = 16,33%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation