Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €3 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 9 років.

PV = €3 0003% / 4n = 9

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €3 000 на початку кожного року протягом 13 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 8 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 13? Знайдіть FV.

A = €3 000i = 8%n = 13

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 5%n = 4

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €900 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 3 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 75 базисних пунктів.

P₀ = €900y = 7%D = 3Δy = −75 bp

P = €

5.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Її WACC 8,78%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 28%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €10 000 000D = €4 000 000WACC = 8,78%r_d = 4,5%T = 28%

r_e = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має власний капітал ринковою вартістю €12 000 000 і вартістю власного капіталу 13%. Її борг складається з 2 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 4%, 7 років до погашення), кожна з яких торгується за €942. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.

E = €12 000 000r_e = 13%облігації: 2 000 × €942купон = 4%n = 7T = 25%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €8 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 3 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €8 000g = 3%r = 10%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €5 000, €3 500, €3 500 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 3 500CF₃ = 3 500

MIRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 3926 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·9 = 36

Майбутня вартість

FV = 3 000·(1 + 0,0075)³⁶ = 3 000·1,309 = €3 925,94

Відповідь

FV = €3 925,94

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 69645 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,08)¹³ − 1)/0,08 = 21,5

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 3 000·21,5·1,08 = €69 644,76

Відповідь

FV = €69 644,76

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 982,1 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €22,50, i = 0,025, N = 8

Теперішня вартість купонів

€22,50·(1 − 0,8207)/0,025 = €161,33

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8207 = €820,75

Ціна

P = €982,07

Відповідь

P = €982,07

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 918,9 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 3/1,07 = 2,804

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −2,804·(−0,0075) = 2,103%

P ≈ 900·(1 + 0,02103) = €918,93

Відповідь

P = €918,93

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 11 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

Частка боргу у WACC

0,2857·4,5%·(1 − 0,28) = 0,9257%

Вартість власного капіталу

r_e = (8,78% − 0,9257%)/0,7143 = 11%

Відповідь

r_e = 11%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 11,75 %

Вартість боргу (YTM)

942 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 5,002%

Ринкові вартості

D = 2 000·€942 = €1 884 000

V = €13 884 000, E/V = 0,8643, D/V = 0,1357

WACC

WACC = 0,8643·13% + 0,1357·5,002%·(1 − 0,25) = 11,75%

Відповідь

WACC = 11,75%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 14286 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 8 000/(0,1 − 0,03) = 114 285,71

NPV

NPV = 114 285,71 − 100 000 = €14 285,71

Відповідь

NPV = €14 285,71

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 8,656 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

5 000·1,06² = 5 618,00

3 500·1,06¹ = 3 710,00

3 500·1,06⁰ = 3 500,00

TV = 12 828,00

MIRR

MIRR = (12 828,00/10 000)^1/3 − 1 = 8,656%

Відповідь

MIRR = 8,656%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation