У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €1 000 наприкінці кожного року протягом 10 років. Процентна ставка 10 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €1 000i = 10%n = 10
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €15 000 під 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €675. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €15 000A = €6754,2% / 12
N = платежів
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 6 років. Її дохідність до погашення змінюється з 2,5% до 3%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 4%n = 6y1 = 2,5%y2 = 3%
ΔP = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 5% двома піврічними платежами й погашається через 8 років. Вона продається за €879. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 5% (2×)n = 8P = €879
YTM = %
5.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,8 має необхідну дохідність 8,7%. Безризикова ставка 3,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,8re = 8,7%rf = 3,5%
rm = %
6.CAPM і WACCСкладна
Акції компанії мають бету 1,2 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 25%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 7%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €10 500 наприкінці кожного року протягом 4 років. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €29 500, €19 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 29 500CF2 = 19 000
IRR = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 6145 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3855)/0,1 = 6,145
Теперішня вартість
PV = 1 000·6,145 = €6 144,57
Відповідь
PV = €6 144,57
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 24 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,0035/675 = 0,9222
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,9222)/ln(1,004) = 23,17
Округлення вгору до повних платежів
Після 23 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 24
Відповідь
N = 24 платежів
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −28,45 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, N = 16
Чисельний розв’язок
i = 3,501% за півроку
YTM
YTM = 2·3,501% = 7,001%
Відповідь
YTM = 7,001%
5.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 10 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (8,7% − 3,5%)/0,8 = 6,5%
Ринкова дохідність
rm = 3,5% + 6,5% = 10%
Відповідь
rm = 10%
6.CAPM і WACC
Відповідь: re = 16,48 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,2/(1 + 0,75·0,5) = 0,8727
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,8727·(1 + 0,75·1,5) = 1,855
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 1,855·7% = 16,48%
Відповідь
re = 16,48%
7.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,542 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 10 500/1,1 = 9 545,45 → Σ = 9 545,45
рік 2: 10 500/1,21 = 8 677,69 → Σ = 18 223,14
рік 3: 10 500/1,331 = 7 888,81 → Σ = 26 111,95
рік 4: 10 500/1,464 = 7 171,64 → Σ = 33 283,59
Частка останнього року
DPB = 3 + 3 888,05/7 171,64 = 3,542
Відповідь
DPB = 3,542 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (2,857 років).
8.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 15,04 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 18,90
NPV(20%) = −2 222,22
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.