Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €5 000 наприкінці кожного року протягом 7 років. Процентна ставка 3 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €5 000i = 3%n = 7

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €8 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €8 0007,2% / 12N = 72

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 10 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 128, коли дохідність до погашення становить 3%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 10P = €1 128YTM = 3%

c = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 3 років і продається за €1 055. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 8%n = 3P = €1 055

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Її WACC 7,94%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 28%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €5 000 000D = €5 000 000WACC = 7,94%r_d = 4%T = 28%

r_e = %

6.CAPM і WACCСкладна

Акції компанії мають бету 1,4 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,25. Ставка податку 21%, безризикова ставка 2%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e після зміни.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1,25T = 21%r_f = 2%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000. Він приносить €6 500 наприкінці кожного року протягом 8 років, а потім його можна продати за €4 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €40 000CF = €6 500S = €4 000n = 8r = 6%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €17 000, €12 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 000CF₂ = 12 500

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 31151 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8131)/0,03 = 6,23

Теперішня вартість

PV = 5 000·6,23 = €31 151,41

Відповідь

PV = €31 151,41

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 137,2 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·6 = 72

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,65

A = 8 000·0,006/(1 − 0,65) = €137,16

Відповідь

A = €137,16

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 4,501 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,03)⁻¹⁰ = €744,09

Купон

C = (1128 − 744,09)/8,53 = €45,01

Купонна ставка

c = 45,01/1000 = 4,501%

Відповідь

c = 4,501%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 5,945 %

Рівняння для дохідності

€1 055 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Чисельний розв’язок

P(5%) = €1 081,70, P(6%) = €1 053,46

YTM = 5,945%

Відповідь

YTM = 5,945%

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 13 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

Частка боргу у WACC

0,5·4%·(1 − 0,28) = 1,44%

Вартість власного капіталу

r_e = (7,94% − 1,44%)/0,5 = 13%

Відповідь

r_e = 13%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 14,69 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

β_U = 1,4/(1 + 0,79·0,4) = 1,064

Перерахуйте за новим D/E

β_L = 1,064·(1 + 0,79·1,25) = 2,114

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 2,114·6% = 14,69%

Відповідь

r_e = 14,69%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 2873 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

6 500·6,21 = 40 363,66

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

4 000/1,594 = 2 509,65

NPV

NPV = −40 000 + 40 363,66 + 2 509,65 = €2 873,31

Відповідь

NPV = €2 873,31

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 12,46 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(10%) = 785,12

NPV(15%) = −765,60

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 10 + 5·785,12/(785,12 − (−765,60)) = 12,53%

точно: NPV(12,46%) = 0 → IRR = 12,46%

Відповідь

IRR = 12,46%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation