Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 125 мм при 1440 об/хв приводить шків 300 мм пасом із прослизанням 1 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 300 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою 1450 rpm приводить колесо A (25 зубців), зчеплене з колесом B (36 зубців). Колесо C (16 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (30 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 96 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 7,5 kWn_in = 1450 rpmA = 25B = 36C = 16D = 30η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (латунь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 50 mm і довжину 1 m; ділянка BC має діаметр 25 mm і довжину 1 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 500 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 500 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 1500 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −20 MPa, σᵧ = −50 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = −20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 70 ГПа). Обидва мають довжину 600 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 25 kNділянка 1: Ø25 mm, 2 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø16 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 100 kg спирається на пружину жорсткістю 20 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 420 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 100 kgk = 20 kN/mc = 420 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на пружині k₃ = 40 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 30 kN/m і k₂ = 50 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 594 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1440·125/300 = 600 rpm

З прослизанням

n₂ = 600·0,99 = 594 rpm

Відповідь

n₂ = 594 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 122,9 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 1450·(25/36)·(16/30) = 537 rpm

ω_out = 2π·537/60 = 56,24 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 7500·0,96² = 6912 W

T_out = P_out/ω_out = 6912/56,24 = 122,9 N·m

Відповідь

T_out = 122,9 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 20,35 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 500000·1000/(39000·613592) = 0,02089 rad

φ_BC = 500000·1000/(39000·38350) = 0,3343 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,02089 + 0,3343 = 0,3552 rad = 20,35°

Відповідь

φ_C = 20,35°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 38,92 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Полярний момент інерції

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·25/408885 = 38,92 MPa

Відповідь

τ_max = 38,92 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 76,32 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−60 − 70)/2)² + 40²) = 76,32 MPa

Відповідь

τ_max = 76,32 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 2,202 MPa

Формула перетворення

σ_θ = −35 + 15·0,766 + −40·−0,6428 = 2,202 MPa

Відповідь

σ_θ = 2,202 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,08203 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·600/5,851 × 10⁸ = 0,08203 mm

Відповідь

δ = 0,08203 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 124,3 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 50,93 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 124,3 MPa

Відповідь

σ_max = 124,3 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 55,27 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2000² = 55270 N = 55,27 kN

Відповідь

P_cr = 55,27 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 69,09 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/7,5 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Відповідь

σ_cr = 69,09 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1485

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·100) = 2828 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 420/2828 = 0,1485

Відповідь

ζ = 0,1485

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 5,198 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 30 + 50 = 80 kN/m

k_eq = 80·40/(80 + 40) = 26,67 kN/m

Власна частота

ω_n = √(26667/25) = 32,66 rad/s

f_n = 32,66/(2π) = 5,198 Hz

Відповідь

f_n = 5,198 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design