Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 135 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 3 mm і передаточним відношенням 4 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 135 mmm = 3 mmi = 4

N₁ =

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (25 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (48 зуб.). Колесо C (12 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (36 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 2900 rpmA = 25B = 48C = 12D = 36

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 60 mm, внутрішній діаметр 36 mm, довжина 1,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 400 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 400 N·md_o = 60 mmd_i = 36 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 10 kW при 1500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 150 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 30 MPa, σᵧ = 100 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 35° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 80 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 80 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 200 МПа) міститься всередині труби з алюміній (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 70 мм, E = 70 ГПа, допустиме напруження 50 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 60 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 60 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 40 kg спирається на пружину жорсткістю 50 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 140 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 40 kgk = 50 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 10 kg висить на пружині k₃ = 25 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 25 kN/m і k₂ = 12 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 18

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·135/3 = 90

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 90/(1 + 4) = 18

Відповідь

N₁ = 18

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 503,5 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 2900·25/48 = 1510 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 1510·12/36 = 503,5 rpm

Відповідь

n_out = 503,5 rpm

загальне передаточне відношення = 5,76 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 1,194 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Кут закручування

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1500/(26000·1,107 × 10⁶) = 0,02084 rad

φ = 0,02084·180/π = 1,194°

Відповідь

φ = 1,194°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 15,94 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm

Відповідь

d = 15,94 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 86,02 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((150 − 10)/2)² + −50²) = 86,02 MPa

Відповідь

τ_max = 86,02 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_θ = 43,15 MPa

Формула перетворення

τ_θ = −−35·0,9397 + 30·0,342 = 43,15 MPa

Відповідь

τ_θ = 43,15 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,08588 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·3063 = 4,657 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 80000·500/4,657 × 10⁸ = 0,08588 mm

Відповідь

δ = 0,08588 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 417,9 kN

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,001, 0,0007143) = 0,0007143 (алюміній)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0007143·5,851 × 10⁸ = 417944 N = 417,9 kN

Відповідь

P_max = 417,9 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,948 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2500² = 2948 N = 2,948 kN

Відповідь

P_cr = 2,948 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 83,14 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 83,14 mm

Відповідь

d = 83,14 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 144,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,0495

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·40) = 2828 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 140/2828 = 0,0495

Відповідь

ζ = 0,0495

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 6,147 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 25 + 12 = 37 kN/m

k_eq = 37·25/(37 + 25) = 14,92 kN/m

Власна частота

ω_n = √(14919/10) = 38,63 rad/s

f_n = 38,63/(2π) = 6,147 Hz

Відповідь

f_n = 6,147 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design