Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 150 мм при 1450 об/хв приводить шків 200 мм пасом із прослизанням 2,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 200 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (18 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (80 зубців). Колесо C (32 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 270 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 3000 rpmA = 18B = 80C = 32n_out = 270 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) завдовжки 2,5 m передає обертовий момент 500 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 1°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 500 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 100 kW при 500 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 100 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = −60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 25 mm сприймає осьову стискальну силу 100 kN разом з обертовим моментом 500 N·m. На поверхні вала знайдіть максимальне дотичне напруження в площині τ_max.

d = 25 mmF = −100 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 40 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σ_max у стрижні.

P = 110 kNділянка 1: Ø30 mm, 0,5 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 20 mm через 4 циклів іде пік 5,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 20 mmx₄ = 5,7 mmn = 4

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 25 kN/m, нижня — k₂ = 10 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 1060 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1450·150/200 = 1088 rpm

З прослизанням

n₂ = 1088·0,975 = 1060 rpm

Відповідь

n₂ = 1060 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 80

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 3000·18/80 = 675 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 32·675/270 = 80

Відповідь

N_D = 80

3.Кручення валів

Відповідь: d = 65,76 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2500/(39000·0,01745) = 1,836 × 10⁶ mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 65,76 mm

Відповідь

d = 65,76 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 63,5 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 1910 N·m = 1,91 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·50·0,7599)) = 63,5 mm

d_i = 0,7·63,5 = 44,45 mm

Відповідь

d_o = 63,5 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 57,94 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 46,18 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = −70 MPa, R = √(10² + (−20)²) = 22,36 MPa

σ₁ = −47,64 MPa, σ₂ = −92,36 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44,72, 47,64, 92,36)/2 = 46,18 MPa

Відповідь

τ_abs = 46,18 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 192,2 MPa

Напруження на поверхні

σ = F/A = −100000/(π·25²/4) = −100000/490,9 = −203,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = −101,9 MPa

R = √((−101,9)² + 163²) = 192,2 MPa

Відповідь

τ_max = 192,2 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,768 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/113,1 = 353,7 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 353,7/200000 = 0,001768 = 1768 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001768·1000 mm = 1,768 mm

Відповідь

δ = 1,768 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ_max = 972,6 MPa

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Найбільше напруження

Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.

σ_max = 972,6 MPa

Відповідь

σ_max = 972,6 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 24,22 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24,22 kN

Відповідь

P_cr = 24,22 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 9,715 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Відповідь

σ_cr = 9,715 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04988

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(20/5,7) = 0,3138

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3138/√(39,48 + 0,09848) = 0,04988

Відповідь

ζ = 0,04988

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 6,015 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/10 → k_eq = 25·10/(25 + 10) = 7,143 kN/m

Власна частота

ω_n = √(7143/5) = 37,8 rad/s

f_n = 37,8/(2π) = 6,015 Hz

Відповідь

f_n = 6,015 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design