Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 2,2 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з 30 зубцями й модулем 3 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 2,2 kWn = 2900 rpmN₁ = 30m = 3 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 160 мм при 720 об/хв зі шківом 400 мм; центри розташовані на відстані 1000 мм. Коефіцієнт тертя 0,35, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 800 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 400 mmC = 1000 mmμ = 0,35T₁ = 800 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 1800 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = −40 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 15° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з бронза (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 110 ГПа). Обидва мають довжину 500 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 250 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 250 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 80 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 25 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 25 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 10 kg на пружині жорсткістю 8 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,45. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 10 kgk = 8 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на пружині k₃ = 30 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 25 kN/m і k₂ = 80 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 161 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 3·30 = 90 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·7,244/0,09 = 161 N

Відповідь

F_t = 161 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 3,077 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,901 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^1,015 = 2,76, T₂ = 800/2,76 = 289,8 N

Потужність

P = (800 − 289,8)·6,032 = 3,077 kW

Відповідь

P = 3,077 kW

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 8,964 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·38350) = 0,1565 rad

φ = 0,1565·180/π = 8,964°

Відповідь

φ = 8,964°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 4,576 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Полярний момент інерції

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·50/5,796 × 10⁶ = 4,576 MPa

Відповідь

τ_max = 4,576 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 84,85 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((−40 − 80)/2)² + 60²) = 84,85 MPa

Відповідь

τ_max = 84,85 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −47,63 MPa

Формула перетворення

σ_θ = −25 + −55·0,866 + 50·0,5 = −47,63 MPa

Відповідь

σ_θ = −47,63 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,1675 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5890 = 7,461 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 250000·500/7,461 × 10⁸ = 0,1675 mm

Відповідь

δ = 0,1675 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 23,53 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·706,9/400 = 123700 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 80000·123700/594939 = 16634 N

Напруження

σ₂ = 16634/706,9 = 23,53 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 23,53 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 5,264 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/5000² = 5264 N = 5,264 kN

Відповідь

P_cr = 5,264 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 35,46 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 35,46 mm

Відповідь

d = 35,46 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 197,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 4,02 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(8000/10) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,45²) = 4,02 Hz

Відповідь

f_d = 4,02 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,431 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 25 + 80 = 105 kN/m

k_eq = 105·30/(105 + 30) = 23,33 kN/m

Власна частота

ω_n = √(23333/100) = 15,28 rad/s

f_n = 15,28/(2π) = 2,431 Hz

Відповідь

f_n = 2,431 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design