Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 120 мм при 1440 об/хв приводить шків 315 мм пасом із прослизанням 2,5 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 125 мм і шків 400 мм, центри яких розташовані на відстані 800 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 125 mmd₂ = 400 mmC = 800 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 200 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 20 kW при 3000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 20 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 50 MPa, σᵧ = −80 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 10 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 150 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 150 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 30 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 150 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 90 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 90 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Маса 2 kg на пружині жорсткістю 8 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 2 kgk = 8 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 10 kN/m і k₂ = 80 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 534,9 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

1440·120/315 = 548,6 rpm

З прослизанням

n₂ = 548,6·0,975 = 534,9 rpm

Відповідь

n₂ = 534,9 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 160,2 °

Кут паса

asin(0,1719) = 9,897°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·9,897 = 160,2°

Відповідь

θ = 160,2°

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 32,24 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·40·0,7599)) = 32,24 mm

d_i = 0,7·32,24 = 22,57 mm

Відповідь

d_o = 32,24 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 29,42 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: d = 16,29 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 20000/314,2 = 63,66 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·75)) = 16,29 mm

Відповідь

d = 16,29 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 71,59 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((50 − −80)/2)² + 30²) = 71,59 MPa

Відповідь

τ_max = 71,59 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −29,39 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 10 + 0·0,1736 + −40·0,9848 = −29,39 MPa

Відповідь

σ_θ = −29,39 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,06015 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·9346 = 9,975 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 150000·400/9,975 × 10⁸ = 0,06015 mm

Відповідь

δ = 0,06015 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 296,9 kN

Площі

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·3063 = 5,089 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00075, 0,0005833) = 0,0005833 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0005833·5,089 × 10⁸ = 296881 N = 296,9 kN

Відповідь

P_max = 296,9 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 2,249 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/4000² = 2249 N = 2,249 kN

Відповідь

P_cr = 2,249 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 64,6 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 64,6 mm

Відповідь

d = 64,6 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 154,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 9,429 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(8000/2) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,35²) = 9,429 Hz

Відповідь

f_d = 9,429 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 7,549 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 80 = 90 kN/m

Власна частота

ω_n = √(90000/40) = 47,43 rad/s

f_n = 47,43/(2π) = 7,549 Hz

Відповідь

f_n = 7,549 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design