Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 0,37 kW із частотою 1440 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 4. Черв’ячне колесо має 48 зубців, ККД передачі 60 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_w на валу колеса.

z = 4N_w = 48n = 1440 rpmP = 0,37 kWη = 60%

T_w = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 80 мм і шків 400 мм, центри яких розташовані на відстані 800 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 80 mmd₂ = 400 mmC = 800 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 3000 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Елемент повернуто на 40° проти годинникової стрілки. Знайдіть нормальне напруження σ_y′ на гранях повернутого елемента, перпендикулярних до повернутої осі y′.

σ_x = −60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 20° за годинниковою стрілкою від осі x.

σ_x = −60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 40 мм, довжина 600 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,2 мм.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 50 мм, довжина 200 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 20 kg на пружині жорсткістю 80 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,45. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 20 kgk = 80 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 10 kN/m і k₂ = 40 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_w = 17,67 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 1440·4/48 = 120 rpm

Вихідний крутний момент

ω_w = 2π·120/60 = 12,57 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,6·370/12,57 = 17,67 N·m

Відповідь

T_w = 17,67 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 156,9 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,2) = 11,54°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·11,54 = 156,9°

Відповідь

θ = 156,9°

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 3,831 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·38350) = 0,06686 rad

φ = 0,06686·180/π = 3,831°

Відповідь

φ = 3,831°

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 10,98 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Полярний момент інерції

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·30/869767 = 10,98 MPa

Відповідь

τ_max = 10,98 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_y′ = −36,32 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Формула перетворення для грані y′

σ_y′ = −65 − 5·0,1736 − (−30)·0,9848 = −36,32 MPa

Перевірка

Сума нормальних напружень не змінюється при повороті.

σ_x′ = −93,68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −130 = σ_x + σ_y

Відповідь

σ_y′ = −36,32 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = −93,31 MPa

Формула перетворення

σ_θ = −65 + 5·0,766 + 50·−0,6428 = −93,31 MPa

Відповідь

σ_θ = −93,31 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 31,42 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3,979 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,2/6,366 × 10⁻⁶ = 31416 N = 31,42 kN

Відповідь

P = 31,42 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 11,88 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·687223/883573 = 23333 N

Напруження

σ₂ = 23333/1963 = 11,88 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 11,88 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 329 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2500² = 328987 N = 329 kN

Відповідь

P_cr = 329 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 87,73 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Відповідь

σ_cr = 87,73 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 8,989 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(80000/20) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,45²) = 8,989 Hz

Відповідь

f_d = 8,989 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 12,99 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 10 + 40 = 50 kN/m

k_eq = 50·100/(50 + 100) = 33,33 kN/m

Власна частота

ω_n = √(33333/5) = 81,65 rad/s

f_n = 81,65/(2π) = 12,99 Hz

Відповідь

f_n = 12,99 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design