Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 0,75 kW із частотою 960 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 3. Черв’ячне колесо має 36 зубців, ККД передачі 65 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_w на валу колеса.

z = 3N_w = 36n = 960 rpmP = 0,75 kWη = 65%

T_w = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (18 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1450 rpm і приводить колесо B (48 зубців). Колесо C (12 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 435 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1450 rpmA = 18B = 48C = 12n_out = 435 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (сталь) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 60 mm і довжину 2 m; ділянка BC має діаметр 25 mm і довжину 0,8 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 400 N·m. Знайдіть кут закручування φ_C кінця C у градусах.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 5 kW при 500 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 80 MPa і σᵧ = 60 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 115 MPa?

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 275 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 150 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (сталь) під дією осьового навантаження.

P = 80 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 60 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 200 kg на пружині жорсткістю 25 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 200 kgk = 25 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 50 kN/m, нижня — k₂ = 15 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_w = 58,19 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 960·3/36 = 80 rpm

Вихідний крутний момент

ω_w = 2π·80/60 = 8,378 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,65·750/8,378 = 58,19 N·m

Відповідь

T_w = 58,19 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 15

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1450·18/48 = 543,8 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 12·543,8/435 = 15

Відповідь

N_D = 15

3.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 6,426 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярні моменти інерції

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування кожної ділянки

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·2000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,00786 rad

φ_BC = 400000·800/(80000·38350) = 0,1043 rad

Повний кут закручування

φ_C = 0,00786 + 0,1043 = 0,1122 rad = 6,426°

Відповідь

φ_C = 6,426°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 18,25 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18,25 mm

Відповідь

d = 18,25 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 43,87 MPa

Потрібний радіус

C = (80 + 60)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 70 = 45 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 10²) = 43,87 MPa

Відповідь

τ_xy = 43,87 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 1,761

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 115 MPa, R = 61,03 MPa

σ₁ = 176 MPa, σ₂ = 53,97 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(176² − 176·53,97 + 53,97²) = 156,2 MPa

n = 275/156,2 = 1,761

Відповідь

n = 1,761

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,9947 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/201,1 = 397,9 MPa

Деформація (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/200000 = 0,001989 = 1989 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001989·500 mm = 0,9947 mm

Відповідь

δ = 0,9947 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 659,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0006) = 0,0006 (латунь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006·1,1 × 10⁹ = 659734 N = 659,7 kN

Відповідь

P_max = 659,7 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,876 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3,876 kN

Відповідь

P_cr = 3,876 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 4,318 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Відповідь

σ_cr = 4,318 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,541 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(25000/200) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,5²) = 1,541 Hz

Відповідь

f_d = 1,541 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,419 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/15 → k_eq = 50·15/(50 + 15) = 11,54 kN/m

Власна частота

ω_n = √(11538/25) = 21,48 rad/s

f_n = 21,48/(2π) = 3,419 Hz

Відповідь

f_n = 3,419 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design