Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,1 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 12, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 18. Втратами знехтуйте. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 1,1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 12N₂ = 18η = 100%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (20 зубців). Колесо C (20 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 480 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1440 rpmA = 16B = 20C = 20n_out = 480 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Ступінчастий суцільний вал (алюміній) закріплений в A. Ділянка AB має діаметр 60 mm і довжину 1 m; ділянка BC має діаметр 30 mm і довжину 1 m. На вільному кінці C діє обертовий момент 500 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

T = 500 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 20 kW при 750 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 80 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Суцільний вал діаметром 20 mm сприймає згинальний момент 100 N·m разом з обертовим моментом 500 N·m. На верхній поверхні, де нормальне напруження від згину розтягувальне й найбільше, знайдіть найбільше головне напруження σ₁.

d = 20 mmM = 100 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 85 kNd = 25 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 120 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 25 kg спирається на пружину жорсткістю 10 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 50 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 25 kgk = 10 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 10 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 80 kN/m і k₂ = 15 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 10,94 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 7,295·18/12·1 = 10,94 N·m

Відповідь

T₂ = 10,94 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1440·16/20 = 1152 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 20·1152/480 = 48

Відповідь

N_D = 48

3.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 94,31 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Напруження на кожній ділянці

T = 500 N·m = 500000 N·mm

τ_AB = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

τ_BC = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Відповідь

τ_max = 94,31 MPa

4.Кручення валів

Відповідь: d = 25,31 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·254648/(π·80)) = 25,31 mm

Відповідь

d = 25,31 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −81,65 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −50/52,2 = −0,9578, sin 2θ_s = −15/52,2 = −0,2873

2θ_s = atan2(−15, −50) = −163,3°

Кут на елементі

θ_s = −81,65°

перевірка: θ_s − θ_p = −81,65 − (−36,65) = −45°

Відповідь

θ_s = −81,65°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ₁ = 388,3 MPa

Напруження на поверхні

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·20³) = 127,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318,3 MPa

Коло Мора

C = σ/2 = 63,66 MPa

R = √(63,66² + 318,3²) = 324,6 MPa

σ₁ = C + R = 388,3 MPa

σ₂ = C − R = −261 MPa

Відповідь

σ₁ = 388,3 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 5,195 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/490,9 = 173,2 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 173,2/100000 = 0,001732 = 1732 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,001732·3000 mm = 5,195 mm

Відповідь

δ = 5,195 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 619,7 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·9346 = 1,033 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0006, 0,0007) = 0,0006 (сталь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0006·1,033 × 10⁹ = 619679 N = 619,7 kN

Відповідь

P_max = 619,7 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 21,7 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Відповідь

P_cr = 21,7 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 24,87 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Відповідь

σ_cr = 24,87 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,05

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·25) = 1000 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 50/1000 = 0,05

Відповідь

ζ = 0,05

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,385 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 80 + 15 = 95 kN/m

k_eq = 95·10/(95 + 10) = 9,048 kN/m

Власна частота

ω_n = √(9048/20) = 21,27 rad/s

f_n = 21,27/(2π) = 3,385 Hz

Відповідь

f_n = 3,385 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design