Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 22 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з 16 зубцями й модулем 4 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 22 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 4 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (15 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (18 зуб.). Колесо C (32 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (40 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 15B = 18C = 32D = 40

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (алюміній) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) діаметром 25 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1 m від A і 0,5 m від B, прикладено обертовий момент 500 N·m. Знайдіть кут повороту φ_C перерізу C у градусах.

d = 25 mmT₀ = 500 N·ma = 1 mb = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 80 MPa, σᵧ = 20 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 90 MPa, σᵧ = 10 MPa і τₓᵧ = 60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 50° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 15 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 25 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 50 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 80 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 50 mm через 3 циклів іде пік 34,3 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 50 mmx₃ = 34,3 mmn = 3

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на пружині k₃ = 20 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 15 kN/m і k₂ = 50 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 6839 N

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 22000/100,5 = 218,8 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 4·16 = 64 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·218,8/0,064 = 6839 N

Відповідь

F_t = 6839 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 2000 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 3000·15/18 = 2500 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 2500·32/40 = 2000 rpm

Відповідь

n_out = 2000 rpm

загальне передаточне відношення = 1,5 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 3,464 °

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(26000·79522) = 0,06046 rad

φ = 0,06046·180/π = 3,464°

Відповідь

φ = 3,464°

4.Кручення валів

Відповідь: φ_C = 3,113 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·0,5/1,5 = 166,7 N·m

T_B = 500·1/1,5 = 333,3 N·m

Кут повороту C

Використайте ділянку AC: вона закріплена в A і передає T_A.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 166667·1000/(80000·38350) = 0,05432 rad = 3,113°

Відповідь

φ_C = 3,113°

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −28,15 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 20/36,06 = 0,5547, sin 2θ_s = −30/36,06 = −0,8321

2θ_s = atan2(−30, 20) = −56,31°

Кут на елементі

θ_s = −28,15°

перевірка: θ_s − θ_p = −28,15 − 16,85 = −45°

Відповідь

θ_s = −28,15°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 102,1 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 50 + 40·−0,1736 + 60·0,9848 = 102,1 MPa

Відповідь

σ_θ = 102,1 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,3056 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490,9 = 30,56 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 30,56/100000 = 0,0003056 = 305,6 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0003056·1000 mm = 0,3056 mm

Відповідь

δ = 0,3056 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 28,76 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 120000·1963/500 = 471239 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 80000·471239/667588 = 56471 N

Напруження

σ₂ = 56471/1963 = 28,76 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 28,76 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 5,076 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/3500² = 5076 N = 5,076 kN

Відповідь

P_cr = 5,076 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 69,09 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Відповідь

σ_cr = 69,09 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,01999

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/3)·ln(50/34,3) = 0,1256

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1256/√(39,48 + 0,01578) = 0,01999

Відповідь

ζ = 0,01999

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 1,968 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 15 + 50 = 65 kN/m

k_eq = 65·20/(65 + 20) = 15,29 kN/m

Власна частота

ω_n = √(15294/100) = 12,37 rad/s

f_n = 12,37/(2π) = 1,968 Hz

Відповідь

f_n = 1,968 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design