Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 200 мм при 1450 об/хв. Натяг становить 400 Н на ведучій гілці та 200 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 120 мм і шків 250 мм, центри яких розташовані на відстані 600 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 120 mmd₂ = 250 mmC = 600 mm

θ = °

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (алюміній; зовнішній діаметр 30 mm, внутрішній діаметр 21 mm, довжина 2,5 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 200 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 200 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 50 kW при 3000 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,7 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 50 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa і τₓᵧ = −20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1000 mm і товщиною стінки 5 mm містить газ під надлишковим тиском 1,2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 60° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 600 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 50 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 50 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 160 МПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа, допустиме напруження 70 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 30 mm через 4 циклів іде пік 0,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 30 mmx₄ = 0,7 mmn = 4

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на пружині k₃ = 80 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 25 kN/m і k₂ = 50 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 3,037 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 15,18 m/s

Потужність

P = (400 − 200)·15,18 = 3037 W = 3,037 kW

Відповідь

P = 3,037 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 167,6 °

Кут паса

asin(0,1083) = 6,219°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·6,219 = 167,6°

Відповідь

θ = 167,6°

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 18,23 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Кут закручування

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·2500/(26000·60428) = 0,3182 rad

φ = 0,3182·180/π = 18,23°

Відповідь

φ = 18,23°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 27,73 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·50·0,7599)) = 27,73 mm

d_i = 0,7·27,73 = 19,41 mm

Відповідь

d_o = 27,73 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 25,31 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 59,87 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = −20/40,31 = −0,4961, sin 2θ_s = −(−35)/40,31 = 0,8682

2θ_s = atan2(35, −20) = 119,7°

Кут на елементі

θ_s = 59,87°

перевірка: θ_s − θ_p = 59,87 − (−75,13) = 135°

Відповідь

θ_s = 59,87°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 75 MPa

Напруження в стінці

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1,2·500/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 60·sin²60° + 120·cos²60° = 75 MPa

Відповідь

σ_n = 75 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,02688 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·8482 = 1,116 × 10⁹ N

Вкорочення

δ = 50000·600/1,116 × 10⁹ = 0,02688 mm

Відповідь

δ = 0,02688 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 222,7 kN

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·2199 = 3,181 × 10⁸ N

Визначальна деформація

ε = min(0,0008, 0,0007) = 0,0007 (латунь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0007·3,181 × 10⁸ = 222660 N = 222,7 kN

Відповідь

P_max = 222,7 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 186,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1050² = 186500 N = 186,5 kN

Відповідь

P_cr = 186,5 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 3,084 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/7,5 = 800

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Відповідь

σ_cr = 3,084 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1479

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(30/0,7) = 0,9395

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9395/√(39,48 + 0,8826) = 0,1479

Відповідь

ζ = 0,1479

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,951 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 25 + 50 = 75 kN/m

k_eq = 75·80/(75 + 80) = 38,71 kN/m

Власна частота

ω_n = √(38710/40) = 31,11 rad/s

f_n = 31,11/(2π) = 4,951 Hz

Відповідь

f_n = 4,951 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design