Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 11 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з 30 зубцями й модулем 2 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 11 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 2 mm

F_t = N

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує ведучий шків 150 мм при 2880 об/хв зі шківом 500 мм; центри розташовані на відстані 1000 мм. Коефіцієнт тертя 0,35, а натяг ведучої гілки не повинен перевищувати 500 Н. Знайдіть найбільшу потужність P, яку пас може передати без прослизання, у кВт (знехтуйте відцентровими ефектами).

d₁ = 150 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 500 mmC = 1000 mmμ = 0,35T₁ = 500 N

P = kW

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (латунь) завдовжки 2 m передає обертовий момент 400 N·m. Кут закручування між його кінцями не повинен перевищувати 1°. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє цю умову.

T = 400 N·mL = 2 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал передає 100 kW при 1000 об/хв. Знайдіть найбільше дотичне напруження τ_max у валу.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_p від осі x до напрямку найбільшого головного напруження в межах від −90° до 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 355 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Мізеса (енергії формозміни).

σ_x = 30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 20 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 50 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,3 мм.

ділянка 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з мідь (діаметр 40 мм, довжина 500 мм, E = 120 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 30 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 95 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 95 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 15 mm через один цикл іде пік 5,8 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 15 mmx₁ = 5,8 mmn = 1

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 25 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 30 kN/m і k₂ = 25 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 2432 N

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 11000/150,8 = 72,95 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2·30 = 60 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·72,95/0,06 = 2432 N

Відповідь

F_t = 2432 N

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 7,05 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут обхвату

θ = 2,79 rad

Натяг веденої гілки

e^μθ = e^0,9764 = 2,655, T₂ = 500/2,655 = 188,3 N

Потужність

P = (500 − 188,3)·22,62 = 7,05 kW

Відповідь

P = 7,05 kW

3.Кручення валів

Відповідь: d = 58,82 mm

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Потрібний полярний момент інерції

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·2000/(39000·0,01745) = 1,175 × 10⁶ mm⁴

Діаметр

d = (32J/π)^1/4 = 58,82 mm

Відповідь

d = 58,82 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 44,7 MPa

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Полярний момент інерції

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Найбільше дотичне напруження

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/534071 = 44,7 MPa

Відповідь

τ_max = 44,7 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_p = 17,77 °

Кут на колі

На колі Мора точка x лежить під кутом 2θp до осі σ; чверть визначається знаками σₓ − σᵧ і τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 80 − −60) = 35,54°

Кут на елементі

θ_p = 17,77°

Відповідь

θ_p = 17,77°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 4,099

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 45 MPa, R = 42,72 MPa

σ₁ = 87,72 MPa, σ₂ = 2,28 MPa, σ₃ = 0

Мізес

σ_vM = √(87,72² − 87,72·2,28 + 2,28²) = 86,6 MPa

n = 355/86,6 = 4,099

Відповідь

n = 4,099

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 43,5 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,3/6,897 × 10⁻⁶ = 43499 N = 43,5 kN

Відповідь

P = 43,5 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 10,99 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 30000·301593/655022 = 13813 N

Напруження

σ₂ = 13813/1257 = 10,99 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 10,99 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 16,45 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2500² = 16449 N = 16,45 kN

Відповідь

P_cr = 16,45 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 64,81 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 64,81 mm

Відповідь

d = 64,81 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 185,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1495

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/1)·ln(15/5,8) = 0,9502

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9502/√(39,48 + 0,9029) = 0,1495

Відповідь

ζ = 0,1495

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,666 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 30 + 25 = 55 kN/m

k_eq = 55·25/(55 + 25) = 17,19 kN/m

Власна частота

ω_n = √(17188/20) = 29,32 rad/s

f_n = 29,32/(2π) = 4,666 Hz

Відповідь

f_n = 4,666 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design