Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 15 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 15, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 18. ККД зубчастої пари — 95 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 15 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 15N₂ = 18η = 95%

T₂ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (30 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (32 зуб.). Колесо C (24 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (48 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 2900 rpmA = 30B = 32C = 24D = 48

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 250 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (алюміній) діаметром 25 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 0,5 m від A і 1 m від B, прикладено обертовий момент 100 N·m. Знайдіть максимальне дотичне напруження τ_max у валу.

d = 25 mmT₀ = 100 N·ma = 0,5 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −10 MPa і σᵧ = 10 MPa. До якої величини може зрости дотичне напруження τ_xy (за модулем), перш ніж найбільше головне напруження досягне 55 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 55 MPa

τ_xy = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 400 mm і товщиною стінки 5 mm містить газ під надлишковим тиском 1,5 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 25° до осі циліндра. Знайдіть нормальне напруження σ_n, що діє поперек зварного шва.

D = 400 mmt = 5 mmp = 1,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з латунь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 100 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,4 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: латунь, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 85 kNділянка 1: Ø35 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)ділянка 2: Ø12 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 150 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 12 mm через 4 циклів іде пік 2,6 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 12 mmx₄ = 2,6 mmn = 4

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 40 kN/m, нижня — k₂ = 50 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 112,6 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 98,79·18/15·0,95 = 112,6 N·m

Відповідь

T₂ = 112,6 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 1359 rpm

Перший ступінь

n_B = 2900·30/32 = 2719 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 2719·24/48 = 1359 rpm

Відповідь

n_out = 1359 rpm

загальне передаточне відношення = 2,133 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 30,06 mm

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·50·0,9375)) = 30,06 mm

d_i = 0,5·30,06 = 15,03 mm

Відповідь

d_o = 30,06 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 29,42 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: τ_max = 21,73 MPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·1/1,5 = 66,67 N·m

T_B = 100·0,5/1,5 = 33,33 N·m

Найбільше дотичне напруження

Визначальним є більший із двох моментів (діаметр однаковий).

τ_max = 16·66667/(π·25³) = 21,73 MPa

Відповідь

τ_max = 21,73 MPa

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_xy = 54,08 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Потрібний радіус

C = (−10 + 10)/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 55 − 0 = 55 MPa

Дотичне напруження

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 10²) = 54,08 MPa

Відповідь

τ_xy = 54,08 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_n = 54,64 MPa

Напруження в стінці

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1,5·200/5 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

σ_n = 30·sin²25° + 60·cos²25° = 54,64 MPa

Відповідь

σ_n = 54,64 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 42,84 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,4/9,337 × 10⁻⁶ = 42840 N = 42,84 kN

Відповідь

P = 42,84 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 15,79 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 88,35·1000/117000 = 0,7551 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·2000/100000 = 15,03 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 15,79 mm

Відповідь

δ = 15,79 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 13,82 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/4000² = 13817 N = 13,82 kN

Відповідь

P_cr = 13,82 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 95,14 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 95,14 mm

Відповідь

d = 95,14 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 176,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,06074

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(12/2,6) = 0,3823

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3823/√(39,48 + 0,1462) = 0,06074

Відповідь

ζ = 0,06074

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,373 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/50 → k_eq = 40·50/(40 + 50) = 22,22 kN/m

Власна частота

ω_n = √(22222/100) = 14,91 rad/s

f_n = 14,91/(2π) = 2,373 Hz

Відповідь

f_n = 2,373 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design