Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 160 мм при 960 об/хв. Натяг становить 1000 Н на ведучій гілці та 300 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (16 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 2880 rpm і приводить колесо B (80 зубців). Колесо C (18 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 144 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 2880 rpmA = 16B = 80C = 18n_out = 144 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал має передавати 50 kW при 1800 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa і τₓᵧ = 30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 25° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 25 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з латунь (зовнішній діаметр 100 мм, внутрішній діаметр 60 мм, E = 100 ГПа). Обидва мають довжину 400 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 50 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 50 kNстрижень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Стрижень сталь (діаметр 40 мм, E = 200 ГПа, допустиме напруження 250 МПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 120 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа, допустиме напруження 60 МПа). Їх стискають разом між жорсткими плитами. Знайдіть найбільше навантаження P_max.

стрижень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 8 kg на пружині жорсткістю 20 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,45. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 8 kgk = 20 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 100 kN/m, нижня — k₂ = 5 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 5,63 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 8,042 m/s

Потужність

P = (1000 − 300)·8,042 = 5630 W = 5,63 kW

Відповідь

P = 5,63 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 72

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 2880·16/80 = 576 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 18·576/144 = 72

Відповідь

N_D = 72

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,702 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·79522) = 0,04716 rad

φ = 0,04716·180/π = 2,702°

Відповідь

φ = 2,702°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 32,32 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Діаметр за допустимим напруженням

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·40)) = 32,32 mm

Відповідь

d = 32,32 mm

На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = −34,72 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 30/85,44 = 0,3511, sin 2θ_s = −80/85,44 = −0,9363

2θ_s = atan2(−80, 30) = −69,44°

Кут на елементі

θ_s = −34,72°

перевірка: θ_s − θ_p = −34,72 − 10,28 = −45°

Відповідь

θ_s = −34,72°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 160,5 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 115 + 35·0,6428 + 30·0,766 = 160,5 MPa

Відповідь

σ_θ = 160,5 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,03329 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·5027 = 6,008 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 50000·400/6,008 × 10⁸ = 0,03329 mm

Відповідь

δ = 0,03329 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P_max = 686,4 kN

Площі

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1,373 × 10⁹ N

Визначальна деформація

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (мідь)

Найбільше навантаження

P_max = 0,0005·1,373 × 10⁹ = 686438 N = 686,4 kN

Відповідь

P_max = 686,4 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 429,7 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/1400² = 429697 N = 429,7 kN

Відповідь

P_cr = 429,7 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 27,76 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Відповідь

σ_cr = 27,76 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 7,106 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(20000/8) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,45²) = 7,106 Hz

Відповідь

f_d = 7,106 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 4,762 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/5 → k_eq = 100·5/(100 + 5) = 4,762 kN/m

Відповідь

k_eq = 4,762 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design