Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 12, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 48. ККД зубчастої пари — 95 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 7,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 12N₂ = 48η = 95%

T₁ = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 3 kW із частотою 2900 rpm приводить колесо A (18 зубців), зчеплене з колесом B (45 зубців). Колесо C (12 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (32 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 97 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 3 kWn_in = 2900 rpmA = 18B = 45C = 12D = 32η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал має передавати обертовий момент 750 N·m. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 75 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (латунь) діаметром 30 mm закріплений обома кінцями A і B у жорстких стінах. У C, на відстані 1,2 m від A і 2,5 m від B, прикладено обертовий момент 250 N·m. Знайдіть реактивний момент T_A у стіні A.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 1,2 mb = 2,5 m

T_A = N·m

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Тонкостінний циліндричний резервуар із внутрішнім діаметром 1500 mm і товщиною стінки 10 mm містить газ під надлишковим тиском 2 MPa. Його виготовлено з листа, звареного гвинтовим швом під кутом 60° до осі циліндра. Знайдіть величину дотичного напруження |τ_n|, що діє вздовж зварного шва.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 60°

|τ_n| = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 55 kNd = 12 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 60 мм, довжина 500 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 60 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 500 kg спирається на пружину жорсткістю 150 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 10390 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 500 kgk = 150 kN/mc = 10390 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на пружині k₃ = 50 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 5 kN/m і k₂ = 50 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 49,39 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Відповідь

T₁ = 49,39 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 61,97 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 2900·(18/45)·(12/32) = 435 rpm

ω_out = 2π·435/60 = 45,55 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 3000·0,97² = 2823 W

T_out = P_out/ω_out = 2823/45,55 = 61,97 N·m

Відповідь

T_out = 61,97 N·m

3.Кручення валів

Відповідь: d_o = 38,82 mm

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·75·0,8704)) = 38,82 mm

d_i = 0,6·38,82 = 23,29 mm

Відповідь

d_o = 38,82 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 37,07 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

4.Кручення валів

Відповідь: T_A = 168,9 N·m

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω. Коли обидва кінці закріплені, статика дає лише T_A + T_B = T₀; друге рівняння — умова сумісності (однаковий кут закручування обох частин у навантаженому перерізі).

Рівновага і сумісність деформацій

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·2,5/3,7 = 168,9 N·m

T_B = 250·1,2/3,7 = 81,08 N·m

Відповідь

T_A = 168,9 N·m

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 96,05 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 15 MPa, R = √((−75)² + (−60)²) = 96,05 MPa

σ₁ = 111 MPa, σ₂ = −81,05 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(192,1, 111, 81,05)/2 = 96,05 MPa

Відповідь

τ_abs = 96,05 MPa

Тут σ₁ і σ₂ мають протилежні знаки, тож максимум у площині R є й абсолютним максимумом.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: |τ_n| = 32,48 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Тонкостінний циліндр: колове напруження σ_h = pr/t і осьове напруження σ_a = pr/(2t); це головні напруження в стінці.

Напруження в стінці

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 2·750/10 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

Перетворення до шва

Візьміть x уздовж осі (σ_a), а y по колу (σ_h). Нормаль до шва утворює з віссю кут 90° − α.

|τ_n| = (150 − 75)·sin 60°·cos 60° = 32,48 MPa

Відповідь

|τ_n| = 32,48 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 14,59 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/113,1 = 486,3 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 486,3/100000 = 0,004863 = 4863 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,004863·3000 mm = 14,59 mm

Відповідь

δ = 14,59 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 8,202 MPa

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 60000·395841/1,024 × 10⁶ = 23190 N

Напруження

σ₂ = 23190/2827 = 8,202 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 8,202 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 139,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Відповідь

P_cr = 139,5 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 49,35 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Відповідь

σ_cr = 49,35 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,5999

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·500) = 17321 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 10390/17321 = 0,5999

Відповідь

ζ = 0,5999

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,576 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 5 + 50 = 55 kN/m

k_eq = 55·50/(55 + 50) = 26,19 kN/m

Власна частота

ω_n = √(26190/100) = 16,18 rad/s

f_n = 16,18/(2π) = 2,576 Hz

Відповідь

f_n = 2,576 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design