Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Черв’як із кількістю заходів 2 обертається з частотою 1440 rpm і приводить черв’ячне колесо з 72 зубцями. Знайдіть частоту обертання n_w колеса.

z = 2N_w = 72n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (18 зуб.). Колесо C (40 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 3000 rpmA = 12B = 18C = 40D = 72

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Під час випробування на кручення суцільний зразок діаметром 15 mm закручують моментом 30 N·m. Два кінці розрахункової довжини 250 mm повертаються один відносно одного на 3,33° (матеріал ще працює пружно). Знайдіть модуль зсуву G матеріалу.

T = 30 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 3,33°

G = GPa

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 75 kW при 1500 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,5 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть найбільше дотичне напруження в площині τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Границя текучості матеріалу 420 MPa. Знайдіть коефіцієнт запасу n щодо текучості за критерієм Треска (найбільших дотичних напружень).

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень сталь (діаметр 20 мм, E = 200 ГПа) міститься всередині труби з мідь (зовнішній діаметр 80 мм, внутрішній діаметр 50 мм, E = 120 ГПа). Обидва мають довжину 800 мм і стискаються разом між жорсткими плитами силою 50 кН. Знайдіть вкорочення δ.

P = 50 kNстрижень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 30 мм, довжина 300 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з бронза (діаметр 50 мм, довжина 300 мм, E = 110 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 40 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaділянка 2: бронза, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 250 kg спирається на пружину жорсткістю 80 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 4470 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 250 kgk = 80 kN/mc = 4470 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 5 kg висить на пружині k₃ = 50 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 60 kN/m і k₂ = 10 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_w = 40 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 1440·2/72 = 40 rpm

Відповідь

n_w = 40 rpm

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 1111 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 3000·12/18 = 2000 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 2000·40/72 = 1111 rpm

Відповідь

n_out = 1111 rpm

загальне передаточне відношення = 2,7 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: G = 25,96 GPa

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції й кут

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,33·π/180 = 0,05812 rad

Модуль зсуву

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(4970·0,05812) = 25964 MPa

G = 25,96 GPa

Відповідь

G = 25,96 GPa

Для порівняння: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюміній ≈ 26 GPa.

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 40,18 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·40·0,9375)) = 40,18 mm

d_i = 0,5·40,18 = 20,09 mm

Відповідь

d_o = 40,18 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 39,32 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_max = 71,59 MPa

Радіус кола Мора

τ_max = R = √(((130 − 0)/2)² + −30²) = 71,59 MPa

Відповідь

τ_max = 71,59 MPa

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: n = 2,8

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. Критерії текучості: за Мізесом текучість настає, коли σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) досягає σ_Y; за Треска — коли абсолютне максимальне дотичне напруження досягає σ_Y/2.

Головні напруження

C = 15 MPa, R = 75 MPa

σ₁ = 90 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 150 MPa

n = 420/150 = 2,8

Відповідь

n = 2,8

n > 1 означає, що в точці текучість не настає; критерій Треска трохи консервативніший за критерій Мізеса.

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 0,09294 mm

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Сумарна осьова жорсткість

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·3063 = 4,304 × 10⁸ N

Вкорочення

δ = 50000·800/4,304 × 10⁸ = 0,09294 mm

Відповідь

δ = 0,09294 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 12,31 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 40000·719948/1,191 × 10⁶ = 24176 N

Напруження

σ₂ = 24176/1963 = 12,31 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 12,31 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 20,47 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/3000² = 20470 N = 20,47 kN

Відповідь

P_cr = 20,47 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 17,27 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Відповідь

σ_cr = 17,27 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,4998

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·250) = 8944 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 4470/8944 = 0,4998

Відповідь

ζ = 0,4998

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 12,16 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 60 + 10 = 70 kN/m

k_eq = 70·50/(70 + 50) = 29,17 kN/m

Власна частота

ω_n = √(29167/5) = 76,38 rad/s

f_n = 76,38/(2π) = 12,16 Hz

Відповідь

f_n = 12,16 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design