Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 0,55 kW із частотою 1450 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 2. Черв’ячне колесо має 50 зубців, ККД передачі 65 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_w на валу колеса.

z = 2N_w = 50n = 1450 rpmP = 0,55 kWη = 65%

T_w = N·m

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (32 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 1440 rpm і приводить колесо B (36 зубців). Колесо C (18 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 640 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 1440 rpmA = 32B = 36C = 18n_out = 640 rpm

N_D =

3.Кручення валівСередня

Суцільний вал (сталь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Суцільний вал (сталь) передає 50 kW при 750 rpm. Дотичне напруження не повинне перевищувати 80 MPa, а кут закручування — 0,5° на m довжини. Знайдіть найменший діаметр d, що задовольняє обидві умови.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

Точка тонкої пластини перебуває в плоскому напруженому стані: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 60 MPa і τₓᵧ = 50 MPa, σ_z = 0. Знайдіть абсолютне максимальне дотичне напруження τ_abs у точці (з урахуванням усіх площадок у трьох вимірах).

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = −70 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 130 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Знайдіть видовження δ стрижня (латунь) під дією осьового навантаження.

P = 55 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть повне видовження δ.

P = 85 kNділянка 1: Ø25 mm, 2 m, алюміній (E = 70 GPa)ділянка 2: Ø20 mm, 1 m, мідь (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 5 kg на пружині жорсткістю 20 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 5 kgk = 20 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 20 kN/m, нижня — k₂ = 60 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_w = 58,86 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання колеса

n_w = n·z/N_w = 1450·2/50 = 58 rpm

Вихідний крутний момент

ω_w = 2π·58/60 = 6,074 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,65·550/6,074 = 58,86 N·m

Відповідь

T_w = 58,86 N·m

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 36

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 1440·32/36 = 1280 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 18·1280/640 = 36

Відповідь

N_D = 36

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 2,801 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Кут закручування

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·38350) = 0,04889 rad

φ = 0,04889·180/π = 2,801°

Відповідь

φ = 2,801°

4.Кручення валів

Відповідь: d = 55,21 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Діаметр за умовою міцності

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Діаметр за умовою жорсткості

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 55,21 mm

Визначальний діаметр

Мають виконуватися обидві умови, тож визначальним є більший діаметр.

d = max(34,35, 55,21) = 55,21 mm

Відповідь

d = 55,21 mm

Тут визначальна умова жорсткості.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: τ_abs = 60,5 MPa

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R. У трьох вимірах абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює (σ_max − σ_min)/2 серед усіх трьох головних напружень; при плоскому напруженому стані третє дорівнює нулю.

Головні напруження в площині

C = 70 MPa, R = √(10² + 50²) = 50,99 MPa

σ₁ = 121 MPa, σ₂ = 19,01 MPa, σ_z = 0

Найбільше з трьох кіл

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(102, 121, 19,01)/2 = 60,5 MPa

Відповідь

τ_abs = 60,5 MPa

Тут визначальне коло поза площиною: абсолютний максимум більший за максимум у площині R.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 67,06 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 30 + 100·0,1736 + 20·0,9848 = 67,06 MPa

Відповідь

σ_θ = 67,06 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 1,945 mm

Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).

Напруження

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/706,9 = 77,81 MPa

Деформація (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 77,81/100000 = 0,0007781 = 778,1 µε

Видовження

δ = ε·L = 0,0007781·2500 mm = 1,945 mm

Відповідь

δ = 1,945 mm

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: δ = 7,26 mm

Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.

Однакова сила в обох ділянках

Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Додайте видовження ділянок

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173,2·2000/70000 = 4,947 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 270,6·1000/117000 = 2,313 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,26 mm

Відповідь

δ = 7,26 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 70,18 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3000² = 70184 N = 70,18 kN

Відповідь

P_cr = 70,18 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 35,25 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Відповідь

σ_cr = 35,25 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 8,717 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(20000/5) = 63,25 rad/s

f_n = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,5²) = 8,717 Hz

Відповідь

f_d = 8,717 Hz

12.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 15 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/60 → k_eq = 20·60/(20 + 60) = 15 kN/m

Відповідь

k_eq = 15 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design