Деталі машин: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Кручення валів

Дотичне напруження: τ = T·r/J
Суцільний вал: J = πd⁴/32
Порожнистий вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Кут закручування: φ = TL/(GJ)
Потужність: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Знайдіть полярний момент інерції: J = πd⁴/32 для суцільного вала.
Дотичне напруження на поверхні: τ = T·r/J, де r — зовнішній радіус.
Кут закручування: φ = TL/(GJ) у радіанах.
Якщо задано потужність, спершу знайдіть крутний момент з P = T·ω, ω = 2πn/60.

Коло Мора й перетворення напружень

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радіус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Головні напруження: σ_1,2 = C ± R
Головний напрямок: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Похила площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Обчисліть центр кола Мора: C = (σx + σy)/2.
Обчисліть радіус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині — R.
Кути на колі вдвічі більші за кути на елементі: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Осьове напруження й деформація

Нормальне напруження: σ = F/A
Деформація: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Видовження: ΔL = FL/(EA)
Температурна деформація: ε_T = α·ΔT

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 120 мм при 1440 об/хв. Натяг становить 1000 Н на ведучій гілці та 200 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 120 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (36 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (45 зуб.). Колесо C (36 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 960 rpmA = 36B = 45C = 36D = 72

n_out = rpm

3.Кручення валівСередня

Порожнистий вал (сталь; зовнішній діаметр 30 mm, внутрішній діаметр 23 mm, довжина 1,2 m) закріплений на одному кінці й закручується моментом 500 N·m на іншому. Знайдіть кут закручування φ у градусах.

T = 500 N·md_o = 30 mmd_i = 23 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручення валівСкладна

Порожнистий вал має передавати 50 kW при 1500 rpm. Його внутрішній діаметр має становити 0,6 від зовнішнього, а дотичне напруження не повинне перевищувати 40 MPa. Знайдіть найменший зовнішній діаметр d_o.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Коло Мора й перетворення напруженьСередня

У точці σₓ = −30 MPa, σᵧ = 70 MPa і τₓᵧ = 20 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θ_s у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Коло Мора й перетворення напруженьСкладна

У точці навантаженої деталі σₓ = 20 MPa, σᵧ = 90 MPa і τₓᵧ = −60 MPa (розтяг додатний). Знайдіть нормальне напруження σ_θ на площадці, нормаль до якої повернута на 60° проти годинникової стрілки від осі x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Осьове напруження й деформаціяСередня

Стрижень складається з ділянки з сталь (діаметр 25 мм, довжина 500 мм, E = 200 ГПа), з’єднаної кінцем до кінця з ділянкою з мідь (діаметр 60 мм, довжина 400 мм, E = 120 ГПа). Він закріплений з одного кінця й розтягується з іншого. Знайдіть осьове навантаження P, що подовжує його загалом на 0,25 мм.

ділянка 1: сталь, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaділянка 2: мідь, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Осьове напруження й деформаціяСкладна

Ділянка з сталь (діаметр 40 мм, довжина 400 мм, E = 200 ГПа) і ділянка з алюміній (діаметр 30 мм, довжина 200 мм, E = 70 ГПа) з’єднані кінцем до кінця й закріплені між двома жорсткими стінами. Осьове навантаження 50 кН діє в стику в бік ділянки 2. Знайдіть модуль напруження σ₂ в ділянці 2.

ділянка 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaділянка 2: алюміній, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Механічні коливанняСередня

Маса 40 kg спирається на пружину жорсткістю 15 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 620 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 40 kgk = 15 kN/mc = 620 N·s/m

ζ =

12.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на пружині k₃ = 12 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 20 kN/m і k₂ = 20 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 7,238 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 9,048 m/s

Потужність

P = (1000 − 200)·9,048 = 7238 W = 7,238 kW

Відповідь

P = 7,238 kW

2.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 384 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 960·36/45 = 768 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 768·36/72 = 384 rpm

Відповідь

n_out = 384 rpm

загальне передаточне відношення = 2,5 : 1

3.Кручення валів

Відповідь: φ = 8,256 °

Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τ_max = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.

Полярний момент інерції

J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴

Кут закручування

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1200/(80000·52048) = 0,1441 rad

φ = 0,1441·180/π = 8,256°

Відповідь

φ = 8,256°

4.Кручення валів

Відповідь: d_o = 35,98 mm

Крутний момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Зовнішній діаметр за допустимим напруженням

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·40·0,8704)) = 35,98 mm

d_i = 0,6·35,98 = 21,59 mm

Відповідь

d_o = 35,98 mm

Суцільному валу потрібен був би d = 34,35 mm; порожнистий трохи більший, але значно легший.

5.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: θ_s = 34,1 °

Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.

Кут на колі

На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.

cos 2θ_s = 20/53,85 = 0,3714, sin 2θ_s = −(−50)/53,85 = 0,9285

2θ_s = atan2(50, 20) = 68,2°

Кут на елементі

θ_s = 34,1°

перевірка: θ_s − θ_p = 34,1 − 79,1 = −45°

Відповідь

θ_s = 34,1°

Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.

6.Коло Мора й перетворення напружень

Відповідь: σ_θ = 20,54 MPa

Формула перетворення

σ_θ = 55 + −35·−0,5 + −60·0,866 = 20,54 MPa

Відповідь

σ_θ = 20,54 MPa

7.Осьове напруження й деформація

Відповідь: P = 39,86 kN

Два матеріали: при послідовному з’єднанні (один за одним) кожна ділянка сприймає ту саму силу, а подовження додаються: δ = P·Σ L/(E·A). При паралельному (поряд між жорсткими плитами) обидві частини вкорочуються однаково, тож їхні деформації рівні: жорсткіша частина бере більшу частку, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стрижень, затиснутий між двома жорсткими стінами з навантаженням у стику, статично невизначуваний: дві ділянки ділять навантаження пропорційно жорсткості k = EA/L.

Площі

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливості

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1,179 × 10⁻⁶ mm/N

Навантаження

P = 0,25/6,272 × 10⁻⁶ = 39860 N = 39,86 kN

Відповідь

P = 39,86 kN

8.Осьове напруження й деформація

Відповідь: σ₂ = 19,98 MPa

Жорсткості

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 70000·706,9/200 = 247400 N/mm

Частка ділянки 2

F₂ = 50000·247400/875719 = 14126 N

Напруження

σ₂ = 14126/706,9 = 19,98 MPa (стиск)

Відповідь

σ₂ = 19,98 MPa

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 42,64 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2500² = 42637 N = 42,64 kN

Відповідь

P_cr = 42,64 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 226,6 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/7,5 = 93,33

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93,33² = 226,6 MPa

Відповідь

σ_cr = 226,6 MPa

11.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,4002

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·40) = 1549 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 620/1549 = 0,4002

Відповідь

ζ = 0,4002

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

12.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,419 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 20 + 20 = 40 kN/m

k_eq = 40·12/(40 + 12) = 9,231 kN/m

Власна частота

ω_n = √(9231/20) = 21,48 rad/s

f_n = 21,48/(2π) = 3,419 Hz

Відповідь

f_n = 3,419 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design